Inom matematiken är Jacobipolynomen en viktig klass ortogonala polynom. De introducerades av Carl Gustav Jacob Jacobi. Flera andra ortogonala polynom är specialfall av dem, däribland Gegenbauerpolynomen, Legendrepolynomen, Zernikepolynomen samt Tjebysjovpolynomen.
Definitioner
Med hjälp av hypergeometriska funktionen
Jacobipolynomen kan definieras via hypergeometriska funktionen enligt
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,{}_{2}F_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\frac {1-z}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bed04644d7795bb63b3b0fd7e14081f79810672)
där
är Pochhammersymbolen. Ett ekvivalent uttyck är
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb72ba6ff8911f3a9abcf06af7a42148ddd33dfb)
En alternativ definition ges av Rodirgues formel
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-z)^{-\alpha }(1+z)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left\{(1-z)^{\alpha }(1+z)^{\beta }(1-z^{2})^{n}\right\}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e9b7f7a8a445d5bc2f2608b99b849847ad8cfa1)
Explicita uttryck för de första Jacobipolynomen
![{\displaystyle P_{0}^{(\alpha ,\beta )}(z)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ab1be0010d74fdc47d7429f18dbbf8063925f6c)
![{\displaystyle P_{1}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {1}{2}}\left[2(\alpha +1)+(\alpha +\beta +2)(z-1)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a95e6198603c0eb110abde34809dcd787796025)
![{\displaystyle P_{2}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {1}{8}}\left[4(\alpha +1)(\alpha +2)+4(\alpha +\beta +3)(\alpha +2)(z-1)+(\alpha +\beta +3)(\alpha +\beta +4)(z-1)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44cf56154dd63ffe05a063e6733b2e8100cad972)
Egenskaper
Ortogonalitet
Jacobipolynomen satisfierar ortogonalitetsrelationen
![{\displaystyle \int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\;dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20ed5359673c6e83a25ca9c03e463701ef4774c3)
för α, β > −1.
Symmetrirelation
Jacobipolynomen satisfierar symmetrirelationen
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2600d9ed56e859d5a202e9e439a6cbf4512bfd0a)
Derivator
Jacobipolynomens kte derivata ges av
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} z^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa63a834344746d8b863181ede59fd9a4bf4115f)
Differentialekvation
Jacobipolynomet Pn(α, β) är en lösning av andra ordningens linjära homogena differentialekvation
![{\displaystyle (1-x^{2})y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+n(n+\alpha +\beta +1)y=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/333f8464a161577178cb7f2cedecbc06c2ba5b52)
Differensekvation
Jacobipolynomen satisfierar differensekvationen
![{\displaystyle {\begin{aligned}&2n(n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)=\\&\quad =(2n+\alpha +\beta -1){\Big \{}(2n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)z+\alpha ^{2}-\beta ^{2}{\Big \}}P_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(z)-2(n+\alpha -1)(n+\beta -1)(2n+\alpha +\beta )P_{n-2}^{(\alpha ,\beta )}(z)~,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc3d0316797f2fa2d3be946874db43652dae023d)
för n = 2, 3, ....
Generenade funktion
Jacobipolynomens genererande funktion ges av
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)w^{n}=2^{\alpha +\beta }R^{-1}(1-w+R)^{-\alpha }(1+w+R)^{-\beta }~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e53f2c37d917968933494795622b253df5dc382)
där
![{\displaystyle R=R(z,w)=\left(1-2zw+w^{2}\right)^{\frac {1}{2}}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a6d58927b46350ae56cee4fd6d29a951b185542)
Speciella värden
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00c46e240dcb9a1b7bc98ebeb1d4d80355a7c10d)
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b31e46dfad32476cf22779390a80a70bc44b0bbd)
Tillväxt
Jacobipolynomen satisfierar
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }n^{-\alpha }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos {\frac {z}{n}}\right)&=\left({\frac {z}{2}}\right)^{-\alpha }J_{\alpha }(z)~\\\lim _{n\to \infty }n^{-\beta }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \left[\pi -{\frac {z}{n}}\right]\right)&=\left({\frac {z}{2}}\right)^{-\beta }J_{\beta }(z)~\end{aligned}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fb4579ac22055f383d83e2bf6d4b24e7f215aab)
En annan formel är
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(\cos \theta )={\frac {\cos \left(\left[n+(\alpha +\beta +1)/2\right]\theta -\left[2\alpha +1\right]\pi /4\right)}{{\sqrt {\pi n}}\left[\sin(\theta /2)\right]^{\alpha +1/2}\left[\cos(\theta /2)\right]^{\beta +1/2}}}+{\mathcal {O}}\left(n^{-3/2}\right),~~~0<\theta <\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfbdc9975955211fd6a45f99cf645ae262f42a68)
Se även
Källor
- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Jacobi polynomials, 4 december 2013.
Speciella funktioner |
---|
| Gamma- och relaterade funktioner | Gammafunktionen · Betafunktionen · Digammafunktionen · Trigammafunktionen · Polygammafunktionen · Ofullständiga gammafunktionen · Barnes G-funktion | | Zeta- och L-funktioner | Riemanns zetafunktion · Dirichlets L-funktion · Dedekinds zetafunktion · Artins L-funktion · Hasse–Weils L-funktion · Motiviska L-funktionen | | Besselfunktioner och relaterade funktioner | | | Elliptiska funktioner och thetafunktioner | | | Hypergeometriska funktioner | | | Ortogonala polynom | | | Andra funktioner | |
|