Półgrupa transformacji

Półgrupa transformacji – półgrupa wszystkich funkcji (transformacji) pewnego zbioru w siebie z działaniem składania. Nazywana również pełną półgrupą transformacji dla odróżnienia od jej podpółgrup. Jest podpółgrupą półgrupy relacji binarnych na zbiorze, a także półgrupy transformacji częściowych zbioru w siebie. Półgrupa transformacji zbioru zawiera grupę permutacji tego zbioru jako podpółgrupę.

A.H. Clifford i G.B. Preston oznaczają półgrupę wszystkich transformacji zbioru ${\displaystyle X}$ symbolem ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{X}}$^[1] i będzie on stosowany również poniżej. J.M. Howie używa symbolu ${\displaystyle {\mathcal {T}}(X)}$^[2].

W poniższym stosowana będzie standardowa w teorii półgrup konwencja pisania argumentów funkcji na lewo od symbolu oznaczającego funkcję. Tak więc zamiast ${\displaystyle \phi (x),}$ pisać będziemy ${\displaystyle x\phi .}$

Relacje Greena na ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{X}}$ dają się scharakteryzować za pomocą poniższego twierdzenia^[3].

Niech ${\displaystyle \alpha ,\,\beta \in {\mathcal {T}}_{X}.}$ Niech, dla każdego ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {T}}_{X},\,\,\pi _{\phi }}$ oznacza relację następującą relację równoważności (jądro ${\displaystyle \phi }$):

${\displaystyle x\,\pi _{\phi }\,y}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle x\phi =y\phi .}$

Wtedy

${\displaystyle \alpha \,{\mathcal {L}}\,\beta }$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle X\alpha =X\beta }$ (czyli ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \beta }$ mają ten sam obraz);

${\displaystyle \alpha \,{\mathcal {R}}\,\beta }$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle \pi _{\alpha }=\phi \beta }$ (czyli ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \beta }$ mają to samo jądro);

${\displaystyle \alpha \,{\mathcal {D}}\,\beta }$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle |X\alpha |=|X\beta |}$ (czyli obrazy ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \beta }$ mają równą moc);

${\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {J}}.}$

Klasy relacji ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ są oczywiście przecięciami klas relacji ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ i ${\displaystyle {\mathcal {R}}.}$

Łatwo jest w ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{X}}$ zidentyfikować idempotenty; są to po prostu rzuty, czyli przekształcenia działające identycznościowo na swoim obrazie. Stąd i z powyższego twierdzenia wynika regularność ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{X}.}$