Funkcja unimodalna

Funkcja unimodalna – funkcja, dla której w zadanym przedziale istnieje maksymalnie jedno ekstremum lokalne^[1]. Niektórzy autorzy definiują funkcje unimodalne tylko w kontekście funkcji ciągłych^[2], sugerując dodatkowy warunek konieczny.

Unimodalność jest wymagana do poprawnego działania wielu metod optymalizacyjnych (np. metody złotego podziału), służących do wyszukiwania lokalnych minimów funkcji^[3].

Niech dana będzie funkcja ${\displaystyle f,}$ ciągła w swojej dziedzinie:

${\displaystyle \mathbb {R} \supset [a,b]\ni x\mapsto f(x)\in \mathbb {R} .}$

Funkcja ${\displaystyle f}$ jest unimodalna w przedziale ${\displaystyle [a,b],}$ jeżeli dla dowolnych ${\displaystyle x_{1}\in [a,b]}$ i ${\displaystyle x_{2}\in [a,b]}$ zachodzi:

• Jeśli ${\displaystyle x_{1}<x_{2}<x^{*},}$ to ${\displaystyle f(x_{1})>f(x_{2})>f(x^{*}),}$ oraz
• Jeśli ${\displaystyle x^{*}<x_{1}<x_{2},}$ to ${\displaystyle f(x^{*})<f(x_{1})<f(x_{2}),}$

gdzie ${\displaystyle x^{*}}$ stanowi minimum funkcji w przedziale ${\displaystyle [a,b].}$

Innymi słowy funkcja jest unimodalna jeśli istnieje taka wartość ${\displaystyle x^{*}\in [a,b],}$ że

• dla ${\displaystyle x<x^{*}}$ funkcja jest ściśle malejąca,
• dla ${\displaystyle x>x^{*}}$ funkcja jest ściśle rosnąca.

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Unimodal Distribution, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2025-04-13].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Unimodal Sequence, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2025-04-13].
• Unimodal distribution (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-13].