Nierówność Bernoulliego

Nierówność Bernoulliego – twierdzenie matematyczne opisujące nierówności między pewnymi funkcjami rzeczywistymi, konkretniej między pewnymi funkcjami liniowymi a potęgami innej funkcji liniowej.

Nazwa pochodzi od nazwiska Jakoba Bernoulliego^[1], który wykorzystywał tę nierówność w swoich badaniach.

Jeśli ${\displaystyle n}$ jest liczbą naturalną ${\displaystyle (n\in \mathbb {N} )}$ oraz ${\displaystyle x\geqslant -1,}$ to:

${\displaystyle (1+x)^{n}\geqslant 1+nx.}$

Czasem nierówność Bernoulliego definiuje się przez ten szczególny przypadek^[1]. Można go udowodnić przez indukcję matematyczną^[2].

Jeżeli ${\displaystyle x\geqslant -1,}$ to:

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }\leqslant 1+\alpha x\quad {\text{dla}}\quad 0<\alpha \leqslant 1}$

oraz:

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }\geqslant 1+\alpha x\quad {\text{dla}}\quad \alpha \geqslant 1}$

Dla ${\displaystyle \alpha =1}$ obie strony nierówności są równe, natomiast dla ${\displaystyle \alpha \neq 1}$ równość w każdej z nierówności zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle x=0.}$

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Bernoulli Inequality, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2025-05-28].