Loi zêta
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Zêta | |
Fonction de masse | |
Fonction de répartition | |
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En théorie de probabilité et statistiques, la distribution zêta est une loi de probabilité discrète de paramètre [1]. Elle est aussi appelée loi de Pareto discrète[2], en lien avec la loi de Pareto.
Définition
On dit qu'une variable aléatoire suit une loi zêta de paramètre si :
où est la fonction zêta de Riemann non définie en 1[1].
Une loi zêta est un sous cas de la loi de Zipf où le paramètre N est infini.
Moments
Le n-ième moment est défini par l'espérance de Xn :
La série de droite est une représentation de la fonction zêta de Riemann et converge seulement pour les valeurs de s-n strictement supérieures à 1. Ainsi :
Lien avec la densité naturelle
Soit A une partie de , on dit que A a une densité naturelle si converge. Notons d(A) la limite. On a alors le résultat suivant :
Soit , posons pour tout on a par hypothèse que , donc on peut poser tel que
On écrit alors
On s'intéresse au terme , on a : car la variable muette a est supérieure à
Sans nuire à la généralité, supposons A infini (le cas A fini est trivial), écrivons alors . Il s'ensuit alors que pour . posons alors
On a donc , d'où
On fait alors de même à gauche et on trouve pour s assez proche de 1 que , ainsi :
Voir aussi
- Loi de Cauchy
- Loi de Lévy
- Loi de Pareto
- Loi de Zipf
Références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Zeta distribution » (voir la liste des auteurs).
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