Loi demi-logistique Densité de probabilité Fonction de répartition Paramètres μ ∈ R {\displaystyle \mu \in \mathbb {R} } σ > 0 {\displaystyle \sigma >0} Support x ∈ ] μ ; ∞ [ {\displaystyle x\in ]\mu ;\infty [} Densité de probabilité 2 exp ( x − μ σ ) σ ( 1 + exp ( x − μ σ ) ) 2 {\displaystyle {\frac {2\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})}{\sigma \left(1+\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})\right)^{2}}}} Fonction de répartition exp ( x − μ σ ) − 1 exp ( x − μ σ ) + 1 {\displaystyle {\frac {\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})-1}{\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})+1}}} Espérance ln ( 4 ) {\displaystyle \ln(4)} (cas centré réduit) Médiane ln ( 3 ) {\displaystyle \ln(3)} (cas centré réduit) Mode μ {\displaystyle \mu } Variance π 2 / 3 − ( ln ( 4 ) ) 2 {\displaystyle \pi ^{2}/3-(\ln(4))^{2}} (cas centré réduit) modifier
En théorie des probabilités et en statistique, la loi demi-logistique est une loi de probabilité continue de la valeur absolue d'une variable aléatoire de loi logistique. Si Y est une variable aléatoire de loi logistique, alors
X = | Y | {\displaystyle X=|Y|\!} est de loi demi-logistique. Cette loi dépend alors des deux mêmes paramètres que la loi logistique : μ ∈ R {\textstyle \mu \in \mathbb {R} } et σ > 0 {\textstyle \sigma >0} , représentée par la notation : X ∼ 1 2 log ( μ , σ ) {\displaystyle X\sim {\frac {1}{2}}\log(\mu ,\sigma )} .
Caractéristique
Densité de probabiltié La densité de probabilité de la loi demi-logistique est donnée par :
f X ( x ) = { 2 exp ( x − μ σ ) σ ( 1 + exp ( x − μ σ ) ) 2 si x > μ 0 sinon. {\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {2\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})}{\sigma \left(1+\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})\right)^{2}}}&{\text{ si }}x>\mu \\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}} Dans le cas centré réduit, c'est-à-dire μ = 0 {\displaystyle \mu =0} et σ = 1 {\displaystyle \sigma =1} , la densité de probabilité s'écrit :
f X ( x ) = { 2 e x ( 1 + e x ) 2 si x > 0 0 sinon. {\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {2\mathrm {e} ^{x}}{(1+\mathrm {e} ^{x})^{2}}}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}
Fonction de répartition La fonction de répartition de la loi demi-logistique est:
F X ( x ) = { exp ( x − μ σ ) − 1 exp ( x − μ σ ) + 1 si x > μ 0 sinon. {\displaystyle F_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})-1}{\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})+1}}&{\text{ si }}x>\mu \\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}} et pour le cas centré réduit :
F X ( x ) = { e x − 1 e x + 1 si x > 0 0 sinon. {\displaystyle F_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {\mathrm {e} ^{x}-1}{\mathrm {e} ^{x}+1}}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}} En particulier, F X ( x ) = 2 f X ( x ) − 1 {\textstyle F_{X}(x)=2f_{X}(x)-1} .
Liens avec d'autres lois ln ( e X + 1 e X − 1 ) ∼ 1 2 log ( 0 , 1 ) {\displaystyle \ln \left({\frac {\mathrm {e} ^{X}+1}{\mathrm {e} ^{X}-1}}\right)\sim {\frac {1}{2}}\log(0,1)} si et seulement si X ∼ E ( 1 ) {\displaystyle X\sim {\mathcal {E}}(1)} (loi exponentielle). ln ( X − 1 ) ∼ 1 2 log ( 0 , 1 ) {\displaystyle \ln \left(X-1\right)\sim {\frac {1}{2}}\log(0,1)} si et seulement si X ∼ Pareto ( 1 , 2 ) {\displaystyle X\sim \operatorname {Pareto} (1,2)} (Distribution de Pareto). Si X ∼ U ( 0 , 1 ) {\displaystyle X\sim U(0,1)} (loi uniforme continue), alors ln ( 2 − X X ) ∼ 1 2 log ( 0 , 1 ) {\displaystyle \ln \left({\frac {2-X}{X}}\right)\sim {\frac {1}{2}}\log(0,1)} .
Références (en) George Olusengun , Meenakshi Devidas, Handbook of the Logistic Distribution , New York, Marcel Dekker, Inc., 1992 , 232–234 p. (ISBN 0-8247-8587-8 ) , « Some Related Distributions » (en) A.K. Olapade , « On Characterizations of the Half-Logistic Distribution », InterStat , no 2, février 2003 (lire en ligne) Portail des probabilités et de la statistique