Многочлен HOMFLY

У математичній теорії вузлів многочлен HOMFLY або многочлен HOMFLYPT (іноді, узагальнений многочлен Джонса) — многочлен вузла з 2 змінними, тобто інваріант вузла у формі многочлена змінних m і l.

Центральним питанням математичної теорії вузлів є те, чи дві діаграми вузлів представляють один і той самий вузол. Один із інструментів для відповідей на такі запитання — многочлен вузла: його обчислюють за діаграмою вузла і можна показати, що він є інваріантом вузла, тобто діаграми, що представляють той самий вузол, мають однаковий многочлен. Обернене може бути хибним. Многочлен HOMFLY є одним із таких інваріантів, він узагальнює два раніше відкриті многочлени, многочлен Александера та многочлен Джонса, які можна отримати з HOMFLY відповідними замінами. Многочлен HOMFLY також є квантовим інваріантом.

Назва HOMFLY поєднує в собі ініціали його співвідкривачів: Джима Госте (Jim Hoste), Адріана Окнеану[de], Кеннета Міллета[en], Пітера Фрайда[en], Вільяма Лікоріша[en] та Девіда Єттера (David N. Yetter).[1] Додаток PT вказує на незалежний внесок Юзефа Пшетиського[en] і Павла Трачика (Paweł Traczyk).[2]

Визначення

Многочлен визначають за допомогою скейн-співвідношення:

P ( u n k n o t ) = 1 , {\displaystyle P(\mathrm {unknot} )=1,\,}
P ( L ) = − ( ℓ + ℓ − 1 ) m P ( L 1 ) P ( L 2 ) . {\displaystyle P(L)={\frac {-(\ell +\ell ^{-1})}{m}}P(L_{1})P(L_{2}).}

де L + , L − , L 0 {\displaystyle L_{+},L_{-},L_{0}}  — зачеплення, утворені перетином та згладжуванням у локальній ділянці діаграми зачеплення, як показано на малюнку.

Многочлен HOMFLY зачеплення L, яка є розділеним об'єднанням двох зачеплень L 1 {\displaystyle L_{1}} і L 2 {\displaystyle L_{2}} має вигляд

ℓ P ( L + ) + ℓ − 1 P ( L − ) + m P ( L 0 ) = 0 , {\displaystyle \ell P(L_{+})+\ell ^{-1}P(L_{-})+mP(L_{0})=0,\,}

На сторінці про скейн-співвідношення є приклад обчислення з використанням таких співвідношень.

Інші скейн-співвідношення HOMFLY

Цей многочлен можна також отримати, використовуючи інші скейн-співвідношення:

α P ( L + ) − α − 1 P ( L − ) = z P ( L 0 ) , {\displaystyle \alpha P(L_{+})-\alpha ^{-1}P(L_{-})=zP(L_{0}),\,}
x P ( L + ) + y P ( L − ) + z P ( L 0 ) = 0 , {\displaystyle xP(L_{+})+yP(L_{-})+zP(L_{0})=0,\,}

Основні властивості

P ( L 1 # L 2 ) = P ( L 1 ) P ( L 2 ) , {\displaystyle P(L_{1}\#L_{2})=P(L_{1})P(L_{2}),\,} де # позначає суму вузлів; таким чином, поліном HOMFLY складеного вузла є добутком многочленів HOMFLY його компонентів.
P K ( ℓ , m ) = P Mirror Image ( K ) ( ℓ − 1 , m ) , {\displaystyle P_{K}(\ell ,m)=P_{{\text{Mirror Image}}(K)}(\ell ^{-1},m),\,} тому многочлен HOMFLY часто можна використати для розрізнення двох вузлів різної хіральності. Однак існують хіральні пари вузлів, які мають однаковий многочлен HOMFLY, наприклад вузли 942 і 1071 разом із відповідними дзеркальними зображеннями.[3]

Многочлен Джонса, V (t), і многочлен Александера, Δ ( t ) {\displaystyle \Delta (t)\,} можна обчислити через многочлен HOMFLY (версія зі змінними α {\displaystyle \alpha } і z {\displaystyle z} ):

V ( t ) = P ( α = t − 1 , z = t 1 / 2 − t − 1 / 2 ) , {\displaystyle V(t)=P(\alpha =t^{-1},z=t^{1/2}-t^{-1/2}),\,}
Δ ( t ) = P ( α = 1 , z = t 1 / 2 − t − 1 / 2 ) , {\displaystyle \Delta (t)=P(\alpha =1,z=t^{1/2}-t^{-1/2}),\,}

Примітки

  1. ↑ Freyd, P.; Yetter, D.; Hoste, J.; Lickorish, W.B.R.; Millett, K.; Ocneanu, A. (1985). A New Polynomial Invariant of Knots and Links. Bulletin of the American Mathematical Society. 12 (2): 239—246. doi:10.1090/S0273-0979-1985-15361-3.
  2. ↑ Józef H. Przytycki; Paweł Traczyk (1987). Invariants of Links of Conway Type. Kobe J. Math. 4: 115—139. arXiv:1610.06679.
  3. ↑ Ramadevi, P.; Govindarajan, T.R.; Kaul, R.K. (1994). Chirality of Knots 942 and 1071 and Chern-Simons Theory. Modern Physics Letters A. 09 (34): 3205—3217. arXiv:hep-th/9401095. Bibcode:1994MPLA....9.3205R. doi:10.1142/S0217732394003026.

Література

  • Kauffman, LH[en], Formal knot theory, Princeton University Press, 1983.
  • Lickorish, W. B. R.[en] An Introduction to Knot Theory. Спрингер.ISBN 0-387-98254-XISBN 0-387-98254-X.

Посилання

  • «Jones-Conway polynomial», Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
  • Weisstein, Eric W. Многочлен HOMFLY(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  • The HOMFLY-PT Polynomial, The Knot Atlas.
  • п
  • о
  • р
Теорія вузлів (вузлів і зачеплень)
Вузли
Гіперболічні
Сателітні
  • Складені (бабин
  • прямий)
  • Сума вузлів
Торичні
Інші
Інваріанти
Нотація
й операції
Див. також
Категорія Категорія  • Сторінка Вікісховища Вікісховище