Quociente de Rayleigh

Em matemática, para uma dada matriz complexa Hermitiana ${\displaystyle A}$ e um vetor não-nulo ${\displaystyle x}$, o quociente de Rayleigh ${\displaystyle R(A,x)}$ é definido como:

${\displaystyle {x^{*}Ax \over x^{*}x}.}$

Para matrizes reais, a condição de ser Hermitiana se reduz a ser simétrica, e para vetores reais o conjugado e transposto ${\displaystyle x^{*}}$ é simplesmente o vetor transposto ${\displaystyle x'}$. Note que ${\displaystyle R(A,cx)=R(A,x)}$ para qualquer que seja o escalar ${\displaystyle c}$. Lembre-se que uma matriz Hermitiana (ou real e simétrica)tem autovalores reais. Pode ser mostrado que o quociente de Rayleigh atinge seu valor mínimo ${\displaystyle \lambda _{\operatorname {min} }}$ (o menor autovalor de ${\displaystyle A}$) quando ${\displaystyle x}$ é ${\displaystyle v_{\operatorname {min} }}$ (o autovetor correspondente). Analogamente, ${\displaystyle R(A,x)\leq \lambda _{\operatorname {max} }}$ e ${\displaystyle R(A,v_{\operatorname {max} })=\lambda _{\operatorname {max} }}$. O quociente de Rayleigh é usado no teorema Min-max para obter valores exatos de todos os autovalores. Ele também pode ser usado em algoritmos para busca da aproximação de autovalores. Especificamente, ele é a base para a iteração do quociente de Rayleigh.