Operador de Fredholm

Um operador de Fredholm ${\displaystyle T:X\to Y}$ é, por definição, um operador linear limitado entre espaços de Banach ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ tal que as dimensões de seu kernel e de seu cokernel são ambas finitas. Alguns autores incluem a hipótese de que sua imagem ${\displaystyle Im(T)}$ é fechada, porém, tal hipótese é redundante.^[1]

O conjunto de todos os operadores de Fredholm ${\displaystyle T:X\to Y}$ é denotado por ${\displaystyle F(X,Y)}$.

O cokernel de uma transformação linear ${\displaystyle T:X\to Y}$ entre espaços vetoriais ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ é o espaço quociente ${\displaystyle Y/Im(T)}$.

Dados dois espaços de Banach ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$, a função índice é definida como

${\displaystyle {\begin{aligned}ind:F(X,Y)&\longrightarrow \mathbb {Z} \\T&\longmapsto ind(T)=dim(ker(T))-dim(coker(T))\end{aligned}}}$

Os operadores de Fredholm são precisamente aqueles que são invertíveis módulo operadores compactos. Isso é conhecido como Teorema de Atkinson.^[2]

Formalmente, dados ${\displaystyle H_{1}}$ e ${\displaystyle H_{2}}$ espaços de Hilbert. Um operador linear limitado ${\displaystyle T:H_{1}\to H_{2}}$ é um operador de Fredholm se, e somente se, existe um operador linear limitado ${\displaystyle S:H_{2}\to H_{1}}$ tal que

${\displaystyle {\begin{aligned}Id_{H_{1}}-ST\ \ e\ \ Id_{H_{2}}-TS\end{aligned}}}$

são operadores compactos em ${\displaystyle H_{1}}$ e ${\displaystyle H_{2}}$, respectivamente.

Sobre a composição de operadores de Fredholm, temos que dados ${\displaystyle T:X\to Y}$ e ${\displaystyle V:Y\to Z}$ operadores de Fredholm, a composta ${\displaystyle V\circ T:X\to Z}$ também é um operador de Fredholm e vale que

${\displaystyle ind(V\circ T)=ind(T)+ind(V)}$.^[3]

O Teorema de Atiyah-Jänich,^[4] relacionado com a K-teoria.

Qualquer operador elíptico pode ser estendido para um operador de Fredholm.

Referências