Na teoria de controle, a matriz de transição de estado é uma matriz cujo produto com o vetor de estado
em um momento inicial
permite obter
após um tempo
, permitindo assim conhecer o estado de um sistema em qualquer instante futuro. A matriz de transição de estado pode ser usada para obter a solução geral de sistemas dinâmicos lineares.
A matriz de transição de estado é usada para encontrar a solução para uma representação geral no espaço de estado de um sistema linear da seguinte forma
,
Onde
são os estados do sistema,
é o sinal de entrada,
e
são funções de matriz, e
é a condição inicial em
. Usando a matriz de transição de estado
, a solução é dada por:[1][2]
![{\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {x} (t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {B} (\tau )\mathbf {u} (\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f9bd2c269c15d814272c465b1f202e9750e8f35)
O primeiro termo é conhecido como resposta de entrada zero e o segundo termo é conhecido como resposta de estado zero .
Série Peano – Baker
A matriz de transição mais geral é dada pela série Peano-Baker
![{\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )=\mathbf {I} +\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\int _{\tau }^{\sigma _{2}}\mathbf {A} (\sigma _{3})\,d\sigma _{3}\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b93bde999bf698b2ce6a32857aed765eed590ca5)
Onde
é a matriz de identidade . Esta matriz converge de maneira uniforme e absoluta para uma solução que existe e é única.[2]
Outras propriedades
A matriz de transição de estado
satisfaz os seguintes relacionamentos:
1 É contínuo e possui derivados contínuos.
2, nunca é singular; de fato
e
, Onde
é a matriz de identidade.
3 -
para todos
.[3]
4 -
para todos
.
5 Satisfaz a equação diferencial
com condições iniciais
.
6 A matriz de transição de estado
, dado por
![{\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )\equiv \mathbf {U} (t)\mathbf {U} ^{-1}(\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6379eb52a9a931c2299751230680d591470f9a41)
onde o
matriz
é a matriz de solução fundamental que satisfaz
com condição inicial
.
7 Dado o estado
a qualquer momento
, o estado em qualquer outro momento
é dado pelo mapeamento
![{\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {x} (\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e0225879caf77779a0a4134bcae6faab5787ab7)
Estimativa da matriz de transição de estado
No caso invariante no tempo, podemos definir
, usando a matriz exponencial, como
.
No caso da variante do tempo, a matriz de transição de estado
pode ser estimado a partir das soluções da equação diferencial
com condições iniciais
dado por
,
,. . .,
. As soluções correspondentes fornecem o
colunas de matriz
. Agora, da propriedade 4,
para todos
. A matriz de transição de estado deve ser determinada antes que a análise da solução variável no tempo possa continuar.
Ver também
- Expansão Magnus
- Fórmula de Liouville
Referências
- ↑ Baake, Michael; Schlaegel, Ulrike (2011). «The Peano Baker Series». Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 275: 155–159
- ↑ a b Rugh, Wilson (1996). Linear System Theory. Prentice Hall. Upper Saddle River, NJ: [s.n.] ISBN 0-13-441205-2
- ↑ Brockett, Roger W. (1970). Finite Dimensional Linear Systems. John Wiley & Sons. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0-471-10585-5
- Baake, M.; Schlaegel, U. (2011). «The Peano Baker Series». Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 275: 155–159
- Brogan, W.L. (1991). Modern Control Theory. Prentice Hall. [S.l.: s.n.] ISBN 0-13-589763-7