Método variacional

Mecânica quântica

${\displaystyle {\Delta x}\,{\Delta p}\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

Princípio da Incerteza

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Na mecânica quântica, o método variacional é uma ferramenta matemática utilizada para encontrar aproximações do valor próprio de mais baixa energia ou estado fundamental. Os fundamentos para este método vêm do princípio variacional.

Este método consiste em escolher uma função de onda tentativa que dependa de um ou mais parâmetros, e encontrar os valores destes parâmetros para cada valor esperado onde a energia seja a menor possível. A função de onda obtida pela substituição dos parâmetros pelos valores encontrados será uma aproximação do estado fundamental da função de onda, e o valor esperado de energia neste estado será um majorante para a energia deste estado fundamental.

Definição

Suponha um espaço de Hilbert e um operador autoadjunto sobre o hamiltoniano H. Ignore-se possíveis complicações de um espectro contínuo, suponha um espectro discreto de H e os espaços esperados correspondentes para cada valor esperado λ

${\displaystyle \sum _{\lambda _{1},\,\lambda _{2}\in \mathrm {Spec} (H)}\langle \psi _{\lambda _{1}}|\psi _{\lambda _{2}}\rangle =\delta _{\lambda _{1}\lambda _{2}}}$

onde ${\displaystyle \delta _{i,j}}$ é o delta de Kronecker

${\displaystyle {\hat {H}}\left|\psi _{\lambda }\right\rangle =\lambda \left|\psi _{\lambda }\right\rangle }$.

Estados físicos são normalizados, ou seja suas normas são iguais a 1. Suponha agora que o espaço seja limitado por baixo e que seu maior limite inferior seja ${\displaystyle E_{0}}$. Suponha também que o estado correspondente a |ψ> seja conhecido. O valor esperado de H será então

${\displaystyle \left\langle \psi |H|\psi \right\rangle =\sum _{\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathrm {Spec} (H)}\left\langle \psi |\psi _{\lambda _{1}}\right\rangle \left\langle \psi _{\lambda _{1}}|H|\psi _{\lambda _{2}}\right\rangle \left\langle \psi _{\lambda _{2}}|\psi \right\rangle }$

${\displaystyle =\sum _{\lambda \in \mathrm {Spec} (H)}\lambda \left|\left\langle \psi _{\lambda }|\psi \right\rangle \right|^{2}\geq \sum _{\lambda \in \mathrm {Spec} (H)}E_{0}\left|\left\langle \psi _{\lambda }|\psi \right\rangle \right|^{2}=E_{0}}$

Se variarmos para todos os possíveis estados com norma 1 para que se minimize o valor esperado de H, o menor valor seria ${\displaystyle E_{0}}$ e o estado correspondente seria um estado esperado de ${\displaystyle E_{0}}$. Quando varia-se sobre todo o espaço de Hilbert normalmente se obtém cálculos complexos demais e um subespaço necessita ser escolhido. A escolha de diferentes subespaços levam a diferentes aproximações e o processo de escolha do subespaço com melhor aproximação é chamado de ansatz.

Suponha que haja alguma sobreposição entre o ansatz e o estado fundamental (caso contrário seria um ansatz ruim). Então para se normalizar o subespaço do ansatz

${\displaystyle \left\langle \psi (\alpha _{i})|\psi (\alpha _{i})\right\rangle =1}$

e agora minimizando

${\displaystyle \varepsilon (\alpha _{i})=\left\langle \psi (\alpha _{i})|H|\psi (\alpha _{i})\right\rangle }$.

Ver também

• Método de Hartree-Fock
• Método dos elementos finitos
• Método de Ritz

Ligações externas

• «Método Variacional com Monte Carlo aplicado ao oscilador harmônico quântico» (PDF). - Universidade de São Paulo 
• «Partícula em um Poço de Potencial Infinito e o Método Variacional de Monte Carlo» (PDF). - Universidade de Campinas 

Leitura recomendada

• Griffiths, D. J. (1995). Introduction to Quantum Mechanics. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall. 0-13-124405-1 
• Sakurai, J. J. (1994). Modern Quantum Mechanics Revised ed. [S.l.]: Addison-Wesley. 0-201-53929-2 

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