Um operador autoadjunto, hermitiano (português brasileiro) ou hermítico (português europeu) é um operador linear em um espaço vetorial com produto interno que é o adjunto de si mesmo. No caso de espaços de dimensão finita, a matriz que representa esse operador é igual à sua transposta conjugada.[1]
![{\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\langle x,Ty\rangle ,~~\forall x,y\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f47a6101cb040093a3d839eee3dfc33a8640caed)
- Todo autovalor
de um operador autoadjunto
é real:
![{\displaystyle \lambda \langle v,v\rangle =\langle Tv,v\rangle =\langle v,Tv\rangle ={\overline {\lambda }}\langle v,v\rangle \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1275d14ed702836832be0cb244c056254fb6f3c9)
- Se
e
são autovalores diferentes associados a autovetores
e
. Então
:
![{\displaystyle \lambda _{1}\langle v_{1},v_{2}\rangle =\langle Tv_{1},v_{2}\rangle =\langle v_{1},Tv_{2}\rangle =\lambda _{2}\langle v_{1},v_{2}\rangle \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d89073466d0f720a33731827a04000436112e528)
![{\displaystyle \Longrightarrow (\lambda _{1}-\lambda _{2})\langle v_{1},v_{2}\rangle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad2cd1ebff3de6a1c0c349faa09ed5d0df068caf)
- Como
e
são distintos, temos
, portanto
.
Aplicação do hermitiano na mecânica quântica
- Dizer que duas funções diferentes
e
são ortogonais significa que a integral (varrendo todo o espaço) do produto dessas funções é igual a zero:
para ![{\displaystyle i\neq j}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d95aeb406bb427ac96806bc00c30c91d31b858be)
Prova da ortogonalidade de funções de onda
- Sejas duas autofunções
e
correspondentes a dois valores diferentes de energia
e
respectivamente. Podemos então escrever:
e ![{\displaystyle {\widehat {H}}\Psi _{m}=E_{m}\Psi _{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/763ffcbb61cc13ebb5a7072a7ca50990df8867b9)
e ![{\displaystyle \int \Psi _{n}^{*}{\widehat {H}}\Psi _{m}dt=E_{m}\int \Psi _{n}^{*}\Psi _{m}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63c243a95df063ec1a560428ee57271d9b2d02d9)
![{\displaystyle \int \Psi _{m}^{*}{\widehat {H}}\Psi _{n}dt-{\biggl (}\int \Psi _{n}^{*}{\widehat {H}}\Psi _{m}dt{\biggl )}^{*}=E_{n}\int \Psi _{m}^{*}\Psi _{n}dt-E_{m}\int \Psi _{n}\Psi _{m}^{*}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4f41d374ca5e98e93a8c8affbaf12b01c8764c9)
- Como o hamiltoniano é hermitiano, temos:
![{\displaystyle 0=(E_{n}-E_{m})\int \Psi _{m}^{*}\Psi _{n}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac6d56644c554ff62275ee3c142ae131b40e0c17)
Como as energias são distintas, a integral será nula, confirmando a ortogonalidade.
Operador Linear
No caso de operadores lineares, temos sua representação matricial. Uma matriz é dita matriz hermitiana ou autoadjunta se for idêntica à sua matriz transposta conjugada. O resultado a seguir relaciona os autovalores de uma matriz Hermitiana e de uma submatriz principal em forma de entrelaçamento de autovalores.[1]
- Teorema
Considere
uma matriz Hermitiana de ordem
,
um inteiro com
e
uma submatriz principal de ordem
de
(obtida removendo
linhas e suas colunas correspondentes de
). Para cada inteiro
tal que
, obtemos
Esse resultado é também conhecido como princípio da inclusão.
Referências
- ↑ a b Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985). Matrix Analysis. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 0-521-38632-2 !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
- ↑ Hermitian Conjugate of an Operator
- ↑ Weisstein, Eric W. «Operador Hermitian». MathWorld (em inglês)
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