Własność punktu stałego

Ten artykuł należy dopracować:

od 2025-03 → napisać/poprawić definicję.
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Mówimy, że przestrzeń topologiczna ${\displaystyle X}$ ma własność punktu stałego, jeśli każde odwzorowanie ciągłe ${\displaystyle f\colon X\to X}$ ma punkt stały, czyli ${\displaystyle f(x)=x}$ dla pewnego ${\displaystyle x\in X}$. Definicję uogólnia się na kategorie konkretne. Mówimy wówczas, że obiekt ma własność punktu stałego, jeśli każdy jego endomorfizm ma punkt stały.

Twierdzenie Brouwera mówi, że własność punktu stałego mają kule domknięte w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Ogólniej, ma ją każdy niepusty zbiór wypukły zwarty w przestrzeni Banacha (twierdzenie Schaudera).

Retrakt przestrzeni mającej własność punktu stałego ma własność punktu stałego^[1]. Natomiast iloczyn kartezjański przestrzeni mających własność punktu stałego niekoniecznie ma własność punktu stałego^[2].

• twierdzenia o punkcie stałym

• JarosławJ. Górnicki JarosławJ., Nieuchwytny punkt stały, „Delta”, październik 2018, ISSN 0137-3005 [dostęp 2023-08-26] .
• Fixed-point property (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-16].