In analisi matematica, l'integrale di Darboux è una delle possibili definizioni di integrale di una funzione .
La definizione di integrale data da Gaston Darboux è del tutto equivalente a quella data da Bernhard Riemann, tuttavia gli integrali definiti con il metodo di Darboux hanno il vantaggio di essere più semplici da definire rispetto a quelli di Riemann, in virtù dell'approccio più costruttivo della loro definizione.
Definizione Si consideri una funzione continua f : [ a , b ] ⊂ R → R {\displaystyle f\colon [a,b]\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} } , che su tale intervallo risulta limitata in virtù del teorema di Weierstrass. Si suddivida l'intervallo tramite una partizione P = { x 0 , x 1 , … , x n − 1 , x n | x 0 = a < x 1 < ⋯ < x n − 1 < x n = b } {\displaystyle {\mathcal {P}}=\{x_{0},\ x_{1},\ \dots ,\ x_{n-1},\ x_{n}|x_{0}=a<x_{1}<\dots <x_{n-1}<x_{n}=b\}} in n {\displaystyle n} intervalli [ x k − 1 , x k ] ⊂ [ a , b ] {\displaystyle [x_{k-1},x_{k}]\subset [a,b]} .
Somme di Darboux: inferiore (verde) e superiore (verde + giallo). Da notare che la funzione rappresentata nel grafico è stata scelta positiva solo per comodità. Per ogni intervallo della partizione si definiscono le due quantità:
λ k := inf x ∈ [ x k − 1 , x k ] f ( x ) ; Λ k := sup x ∈ [ x k − 1 , x k ] f ( x ) . {\displaystyle \lambda _{k}:=\inf _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f(x);\qquad \Lambda _{k}:=\sup _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f(x).} Questi due valori sono l'estremo inferiore e l'estremo superiore delle ordinate dei punti del grafico della funzione f ( x ) {\displaystyle f(x)} limitatamente all'intervallo [ x k − 1 , x k ] {\displaystyle [x_{k-1},x_{k}]} . Tali valori esistono per il fatto che la funzione è limitata su tutto l'intervallo.
Si definisce somma inferiore di Darboux , di f {\displaystyle f} relativa alla partizione P {\displaystyle {\mathcal {P}}} , il numero reale:
s ( P , f ) := ∑ k = 1 n λ k ( x k − x k − 1 ) . {\displaystyle s({\mathcal {P}},f):=\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}(x_{k}-x_{k-1}).} Analogamente, si definisce somma superiore di Darboux , di f {\displaystyle f} relativa alla partizione P {\displaystyle {\mathcal {P}}} , il numero reale:
S ( P , f ) := ∑ k = 1 n Λ k ( x k − x k − 1 ) . {\displaystyle S({\mathcal {P}},f):=\sum _{k=1}^{n}\Lambda _{k}(x_{k}-x_{k-1}).} Esiste un lemma che afferma che, data:
m ≤ f ( x ) ≤ M , ∀ x ∈ [ a , b ] , {\displaystyle m\leq f(x)\leq M,\qquad \forall x\in [a,b],} allora per ogni coppia di partizioni P , Q {\displaystyle {\mathcal {P}},\,{\mathcal {Q}}} di [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} si ha:
m ( b − a ) ≤ s ( P ) ≤ S ( Q ) ≤ M ( b − a ) . {\displaystyle m(b-a)\leq s({\mathcal {P}})\leq S({\mathcal {Q}})\leq M(b-a).} Al variare di ogni partizione P {\displaystyle {\mathcal {P}}} di [ a , b ] , {\displaystyle [a,b],} siano:
δ = { s ( P ) } P ; Δ = { S ( P ) } P . {\displaystyle \delta =\{s({\mathcal {P}})\}_{\mathcal {P}};\qquad \Delta =\{S({\mathcal {P}})\}_{\mathcal {P}}.} Dal lemma precedente possiamo dedurre che gli insiemi δ {\displaystyle \delta } e Δ {\displaystyle \Delta } sono separati, cioè:
s ≤ S , ∀ s ∈ δ , ∀ S ∈ Δ . {\displaystyle s\leq S,\qquad \forall s\in \delta ,\,\forall S\in \Delta .} L'assioma di Dedekind sulla completezza di R {\displaystyle \mathbb {R} } afferma allora che esiste almeno un numero reale ξ ∈ R {\displaystyle \xi \in \mathbb {R} } tale che:
s ≤ ξ ≤ S , ∀ s ∈ δ , ∀ S ∈ Δ . {\displaystyle s\leq \xi \leq S,\qquad \forall s\in \delta ,\,\forall S\in \Delta .} Se vi è un unico elemento di separazione ξ {\displaystyle \xi } tra s {\displaystyle s} e S , {\displaystyle S,} allora si dice che f ( x ) {\displaystyle f(x)} è integrabile in secondo Darboux o Darboux-integrabile [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} e l'elemento ξ {\displaystyle \xi } si indica con:
∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}
Integrale multiplo di Darboux Lo stesso argomento in dettaglio: Integrale multiplo . Sia N ⊂ R n {\displaystyle N\subset \mathbb {R} ^{n}} un dominio normale, f : N → R n {\displaystyle f\colon N\to \mathbb {R} ^{n}} limitata e μ {\displaystyle \mu } una misura. Sia P = { N 1 , … , N k } {\displaystyle {\mathcal {P}}=\{N_{1},\ \dots ,\ N_{k}\}} una partizione di N {\displaystyle N} in domini normali.
Si definisce somma inferiore di Darboux , di f {\displaystyle f} relativa alla partizione P {\displaystyle {\mathcal {P}}} , il numero reale:
s ( P , f ) := ∑ i = 1 k μ ( N i ) inf f ( x ) x ∈ N i . {\displaystyle s({\mathcal {P}},f):=\sum _{i=1}^{k}\mu (N_{i})\,\inf {\underset {x\in N_{i}}{f(x)}}.} Analogamente, si definisce somma superiore di Darboux , di f {\displaystyle f} relativa alla partizione P {\displaystyle {\mathcal {P}}} , il numero reale:
S ( P , f ) := ∑ i = 1 k μ ( N i ) sup f ( x ) x ∈ N i . {\displaystyle S({\mathcal {P}},f):=\sum _{i=1}^{k}\mu (N_{i})\,\sup {\underset {x\in N_{i}}{f(x)}}.} In virtù di un lemma che riguarda i domani normali e le loro partizioni, si può concludere che:
sup ( s ( P , f ) ) P ≤ inf ( S ( P , f ) ) P . {\displaystyle \sup {\underset {\mathcal {P}}{(s({\mathcal {P}},f))}}\leq \inf {\underset {\mathcal {P}}{(S({\mathcal {P}},f))}}.} Pertanto f {\displaystyle f} si dice Darboux-integrabile in N {\displaystyle N} se sup ( s ( P , f ) ) P = inf ( S ( P , f ) ) P = ξ {\displaystyle \sup {\underset {\mathcal {P}}{(s({\mathcal {P}},f))}}=\inf {\underset {\mathcal {P}}{(S({\mathcal {P}},f))}}=\xi } e in tal caso si pone che:
∫ N f ( x ) d x 1 … d x n := ξ . {\displaystyle \int _{N}f(x)\,dx_{1}\dots dx_{n}:=\xi .}
Proprietà degli integrali
Darboux-integrabilità e Riemann-integrabilità In generale una funzione è Darboux-integrabile se e solo se è Riemann-integrabile , e i valori dei due integrali, se esistono, sono uguali tra loro.
Linearità Siano f {\displaystyle f} e g {\displaystyle g} due funzioni continue definite in un intervallo [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} e siano α , β ∈ R {\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} } . Allora:
∫ a b [ α f ( x ) + β g ( x ) ] d x = α ∫ a b f ( x ) d x + β ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx}
Additività Sia f {\displaystyle f} continua e definita in un intervallo [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} e sia c ∈ [ a , b ] {\displaystyle c\in [a,b]} . Allora:
∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx}
Monotonia Siano f {\displaystyle f} e g {\displaystyle g} due funzioni continue definite in un intervallo [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} e f ( x ) ≥ g ( x ) {\displaystyle f(x)\geq g(x)} . Allora:
∫ a b f ( x ) d x ≥ ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\geq \int _{a}^{b}g(x)dx}
Teorema del confronto Siano f {\displaystyle f} e g {\displaystyle g} due funzioni continue definite in un intervallo [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} e tali che f ( x ) ≤ g ( x ) {\displaystyle f(x)\leq g(x)} in [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} . Allora:
∫ a b f ( x ) d x ≤ ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx}
Valore assoluto Sia f {\displaystyle f} integrabile in un intervallo [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , allora si ha:
| ∫ a b f ( x ) d x | ≤ ∫ a b | f ( x ) | d x {\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,dx}
Se f : [ a , b ] → R {\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} } è continua allora esiste c ∈ [ a , b ] {\displaystyle c\in [a,b]} tale che:
1 b − a ∫ a b f ( x ) d x = f ( c ) {\displaystyle {{1} \over {b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)} Limitandosi ad integrali su intervalli di R {\displaystyle \mathbb {R} } , sia dato un intervallo [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , con a ≤ b ∈ R {\displaystyle a\leq b\in \mathbb {R} } .
Scrivendo Δ x i = x 1 − x i − 1 {\displaystyle \Delta x_{i}=x_{1}-x_{i}-1} , se f {\displaystyle f} è una funzione reale limitata definita su [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} e P {\displaystyle {\mathcal {P}}} una partizione di [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} si pone:
M i = sup x i − 1 ≤ x ≤ x i f ( x ) , m i = inf x i − 1 ≤ x ≤ x i f ( x ) ; U ( P , f ) = ∑ i = 1 n M i Δ x i , L ( P , f ) = ∑ i = 1 n m i Δ x i ; ∫ a b ¯ f d x = inf U ( P , f ) , ∫ a b _ f d x = sup L ( P , f ) {\displaystyle {\begin{aligned}&M_{i}=\sup _{x_{i}-1\leq x\leq x_{i}}f(x),&m_{i}=\inf _{x_{i}-1\leq x\leq x_{i}}f(x);\\&U({\mathcal {P}},f)=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i},&L({\mathcal {P}},f)=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i};\\&{\overline {\int _{a}^{b}}}fdx=\inf U({\mathcal {P}},f),&{\underline {\int _{a}^{b}}}fdx=\sup L({\mathcal {P}},f)\end{aligned}}} dove inf , sup {\displaystyle \inf ,\sup } sono calcolati al variare di tutte le partizioni di [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , e i due integrali si dicono rispettivamente integrale di Riemann superiore e inferiore. Se i due integrali sono uguali, f {\displaystyle f} si dice Riemann-integrabile ( f ∈ R ( [ a , b ] ) {\displaystyle f\in {\mathcal {R}}([a,b])} ), e si definisce l'integrale di Riemann di f {\displaystyle f} su [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} il valore comune dei due integrali:
∫ a b f d x = ∫ a b ¯ f , d x = ∫ a b _ f d x {\displaystyle \int _{a}^{b}fdx={\overline {\int _{a}^{b}}}f,dx={\underline {\int _{a}^{b}}}fdx} Dato che ogni funzione limitata esistono m , M ∈ R {\displaystyle m,M\in \mathbb {R} } tali che m ≤ f ( x ) ≤ M {\displaystyle m\leq f(x)\leq M} per ogni x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} si ha:
m ( b − a ) ≤ L ( P , f ) ≤ U ( P , f ) ≤ M ( b − a ) {\displaystyle m(b-a)\leq L({\mathcal {P}},f)\leq U({\mathcal {P}},f)\leq M(b-a)} gli integrali di Riemann superiori ed inferiore sono definiti, anche se non è detto che abbiano lo stesso valore.
Si mostra che f ∈ R ( [ a , b ] ) {\displaystyle f\in {\mathcal {R}}([a,b])} se e solo se per ogni ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} esiste una partizione P {\displaystyle {\mathcal {P}}} tale che U ( P , f ) − L ( P , f ) < ε {\displaystyle U({\mathcal {P}},f)-L({\mathcal {P}},f)<\varepsilon } . Se tale condizione è verificata, allora:
| ∑ i = 1 n f ( t i ) Δ x i − ∫ a b f d x | < ε {\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta x_{i}-\int _{a}^{b}fdx\right|<\varepsilon }
Bibliografia Michiel Berstch, Roberta Dal Passo, Lorenzo Giacomelli Analisi Matematica , McGraw-Hill, Milano Paolo Marcellini , Carlo Sbordone Analisi Matematica Uno , Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2819-2, 1998, capitolo 8. Nicola Fusco, Paolo Marcellini , Carlo Sbordone Analisi Matematica Due , Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2675-0, 1996, capitolo 8.
Voci correlate
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