Digamma-függvény

A ψ(x) jelű digamma-függvény a gamma-függvény logaritmikus deriváltja.

${\displaystyle \psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\Gamma (x)}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}.}$

Ez az első poligamma-függvény.

A digamma-függvény (jelölései: ψ₀(x), ψ⁰(x), vagy ${\displaystyle \digamma }$, a digamma (Ϝ ϝ) a preklasszikus görög ábécé hatodik betűje után) következőképpen kapcsolódik a harmonikus számokhoz:

${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma \!}$

ahol H_n az n-edik harmonikus szám, és γ az Euler-Mascheroni konstans. Félegész értékekre:

${\displaystyle \psi \left(n+{\frac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}}}$

${\displaystyle \psi (x)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-xt}}{1-e^{-t}}}\right)\,dt}$

ez a kifejezés akkor érvényes, ha ${\displaystyle x}$ valós része pozitív.

Kifejezhetjük:

${\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{s}}{1-x}}dx}$

mely megfelel az Euler-integrálnak harmonikus számokra.

A digamma kiszámolható a komplex síkon a negatív egészeken kívül a következő képlettel:

${\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z}{n(n+z)}}\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots }$

vagy

${\displaystyle \psi (z)=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z-1}{(n+1)(n+z)}}=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+z}}\right)\qquad z\neq 0,-1,-2,-3,\ldots }$

Ez felhasználható racionális függvények végtelen szummájának számítására, például:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p(n)}{q(n)}}}$,

ahol p(n) és q(n) n polinomjai.

Magasabb rendű poligamma-függvény sor kiterjesztésével, egy általánosított képlet kapható:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{(n+b_{k})^{r_{k}}}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {(-1)^{r_{k}}}{(r_{k}-1)!}}a_{k}\psi ^{(r_{k}-1)}(b_{k}),}$

feltéve, ha a sorozat bal oldala konvergens.

A digammának van egy racionális zéta sorozata, mely a Taylor-sorból ered z=1-nél. Ez:

${\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }\zeta (k+1)\;(-z)^{k}}$,

mely konvergál |z|<1 felé. Itt a ${\displaystyle \zeta (n)}$ a Riemann-féle zéta-függvény.

A digamma Newton-sora az Euler integrál képletből adódik:

${\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{s \choose k}}$

ahol ${\displaystyle \textstyle {s \choose k}}$ a binomiális együttható.

A digamma-függvény reflexiós képlete hasonló a gamma-függvényével.

${\displaystyle \psi (1-x)-\psi (x)=\pi \,\!\cot {\left(\pi x\right)}}$

A digamma Gauss-összege:

${\displaystyle {\frac {-1}{\pi k}}\sum _{n=1}^{k}\sin \left({\frac {2\pi nm}{k}}\right)\psi \left({\frac {n}{k}}\right)=\zeta \left(0,{\frac {m}{k}}\right)=-B_{1}\left({\frac {m}{k}}\right)={\frac {1}{2}}-{\frac {m}{k}}}$

${\displaystyle 0<m<k}$ egészekre. Itt, a ζ(s,q) a Hurwitz zéta függvény, és a ${\displaystyle B_{n}(x)}$ a Bernoulli-polinom.

Gauss digamma elmélete,^[1][2] szerint m és k ( m < k), pozitív egészekre, a digamma függvény elemi függvényekkel is kifejezhető:

${\displaystyle \psi \left({\frac {m}{k}}\right)=-\gamma -\ln(2k)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {m\pi }{k}}\right)+2\sum _{n=1}^{\lfloor (k-1)/2\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi nm}{k}}\right)\ln \left(\sin \left({\frac {n\pi }{k}}\right)\right)}$

J.-M. Bernardo AS 103 algoritmusa szerint^[3] a digamma-függvény x valós számokra közelíthető:

${\displaystyle \psi (x)=\ln(x)-{\frac {1}{2x}}-{\frac {1}{12x^{2}}}+{\frac {1}{120x^{4}}}-{\frac {1}{252x^{6}}}+O\left({\frac {1}{x^{8}}}\right)}$

Hasonló közelítés magasabb tagokra:

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x)&=\ln(x)-{\frac {1}{2x}}-{\frac {1}{12x^{2}}}+{\frac {1}{120x^{4}}}-{\frac {1}{252x^{6}}}+{\frac {1}{240x^{8}}}-{\frac {5}{660x^{10}}}\\&\quad +{\frac {691}{32760x^{12}}}-{\frac {7}{84x^{14}}}+{\frac {3617}{8160x^{16}}}-{\frac {43867}{14364x^{18}}}+O\left({\frac {1}{x^{20}}}\right)\end{aligned}}}$

Gauss digamma elmélete eredményeképpen a digamma-függvény zárt formájú értékei racionális számokra:

${\displaystyle \psi (1)=-\gamma \,\!}$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{2}}\right)=-2\ln {2}-\gamma }$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{3}}\right)=-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3}{2}}\ln {3}-\gamma }$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{4}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}-3\ln {2}-\gamma }$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{6}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {3}}-2\ln {2}-{\frac {3}{2}}\ln(3)-\gamma }$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{8}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left\{\pi +\ln(2+{\sqrt {2}})-\ln(2-{\sqrt {2}})\right\}-\gamma }$

• Abramowitz, M.; Stegun, I. A., eds: "6.3 psi (Digamma) Function.". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. (hely nélkül): New York: Dover. 1972. 258–259. o.  
• Bernardo, José M: "Algorithm AS 103 psi(digamma function) computation". (hely nélkül): Applied Statistics 25. 1976. 315–317. o.  

• Poligamma-függvény
• Trigamma-függvény
• Csebisev-polinomok
• Gamma-függvény
• Derivált
• Digamma
• Riemann-féle zéta-függvény
• Newton-sor