Produit dyadique

En mathématiques, et plus précisément en algèbre multilinéaire, le produit dyadique

${\displaystyle \mathbb {P} =\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$

de deux vecteurs, ${\displaystyle \mathbf {u} }$ et ${\displaystyle \mathbf {v} }$, chacun ayant la même dimension, est le produit tensoriel de ces vecteurs, lequel est un tenseur d'ordre deux et de rang un.

Si ${\displaystyle \mathbf {u} }$ et ${\displaystyle \mathbf {v} }$ sont deux vecteurs d'un espace vectoriel E de dimension finie n, muni d'une base donnée ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}\}_{1\leq i\leq n}}$, les coordonnées ${\displaystyle P_{ij}}$ du produit dyadique ${\displaystyle \mathbb {P} =\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$ dans la base correspondante du produit tensoriel ${\displaystyle E\otimes E}$ sont données par

${\displaystyle \displaystyle P_{ij}=u_{i}v_{j}}$ , où ${\displaystyle \ \mathbf {u} =\sum _{i=1}^{n}u_{i}\mathbf {e} _{i}}$ , et ${\displaystyle \ \mathbf {v} =\sum _{j=1}^{n}v_{j}\mathbf {e} _{j}}$ ,

et alors

${\displaystyle \mathbb {P} =\sum _{i,j}P_{ij}\;\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}}$ .

Le produit dyadique peut être simplement représenté par la matrice carrée obtenue en multipliant ${\displaystyle \mathbf {u} }$ en tant que vecteur colonne par ${\displaystyle \mathbf {v} }$ en tant que vecteur ligne. Par exemple,

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} \rightarrow {\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\end{bmatrix}},}$

où la flèche indique que ce n'est qu'une représentation particulière du produit dyadique, se référant à une base particulière. Dans cette représentation, le produit dyadique est un cas particulier du produit de Kronecker.

Les identités suivantes sont une conséquence directe de la définition du produit dyadique ^[1]:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\alpha \mathbf {u} )\otimes \mathbf {v} &=\mathbf {u} \otimes (\alpha \mathbf {v} )=\alpha (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ),\\\mathbf {u} \otimes (\mathbf {v} +\mathbf {w} )&=\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {u} \otimes \mathbf {w} ,\\(\mathbf {u} +\mathbf {v} )\otimes \mathbf {w} &=\mathbf {u} \otimes \mathbf {w} +\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} ,\\(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )\cdot \mathbf {w} &=\mathbf {u} \;(\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} ),\\\mathbf {u} \cdot (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\;\mathbf {w} ,\\(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )^{\top }&=\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} \end{aligned}}}$

• Tenseur dyadique
• Produit tensoriel
• Produit de Kronecker

• (en) A.J.M. Spencer, Continuum Mechanics, Mineola, Dover Publications, 1992, 183 p., poche (ISBN 978-0-486-43594-7, LCCN 2003070116, lire en ligne).

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Dyadic product » (voir la liste des auteurs).

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