En mathématiques , le produit de Wallis , ou formule de Wallis , est une expression de la moitié de la constante π sous la forme d'un produit infini, énoncée en 1656 par John Wallis, dans son ouvrage Arithmetica infinitorum .
Expression Ce produit peut s'écrire sous la forme :
π 2 = 2 1 × 2 3 × 4 3 × 4 5 × 6 5 × 6 7 × 8 7 × 8 9 ⋯ 2 n 2 n − 1 × 2 n 2 n + 1 ⋯ {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\times {\frac {2}{3}}\times {\frac {4}{3}}\times {\frac {4}{5}}\times {\frac {6}{5}}\times {\frac {6}{7}}\times {\frac {8}{7}}\times {\frac {8}{9}}\cdots {\frac {2n}{2n-1}}\times {\frac {2n}{2n+1}}\cdots } soit, de façon plus condensée :
π 2 = ∏ n = 1 ∞ ( 2 n ) ( 2 n ) ( 2 n − 1 ) ( 2 n + 1 ) = ∏ n = 1 ∞ 4 n 2 4 n 2 − 1 = ∏ n = 1 ∞ ( 1 + 1 4 n 2 − 1 ) {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{4n^{2}-1}}\right)} ou encore :
π 2 = 2 ∏ k = 1 ∞ ( 2 k ) ( 2 k + 2 ) ( 2 k + 1 ) ( 2 k + 1 ) = 2 ∏ k = 1 ∞ ( 2 k + 1 ) 2 − 1 ( 2 k + 1 ) 2 = 2 ∏ k = 1 ∞ ( 1 − 1 ( 2 k + 1 ) 2 ) . {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=2\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {(2k)(2k+2)}{(2k+1)(2k+1)}}=2\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {(2k+1)^{2}-1}{(2k+1)^{2}}}=2\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{(2k+1)^{2}}}\right).} Une formulation équivalente est :
π = lim n → + ∞ 1 n 2 2 × 4 2 × 6 2 ⋯ ( 2 n ) 2 1 2 × 3 2 × 5 2 ⋯ ( 2 n − 1 ) 2 = lim n → + ∞ 1 n ∏ k = 1 n ( 2 k ) 2 ( 2 k − 1 ) 2 {\displaystyle \pi =\lim _{n\rightarrow +\infty }{\frac {1}{n}}{\frac {2^{2}\times 4^{2}\times 6^{2}\cdots (2n)^{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,}{1^{2}\times 3^{2}\times 5^{2}\cdots (2n-1)^{2}}}=\lim _{n\rightarrow +\infty }{\frac {1}{n}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {(2k)^{2}}{(2k-1)^{2}}}} .
Démonstration On peut démontrer cette égalité à l'aide des intégrales de Wallis .
C'est aussi une conséquence directe de la formule d'Euler-Wallis pour la fonction sinus (qui est un exemple de factorisation de Weierstrass [ 1] ) :
sin ( x ) x = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − x 2 n 2 π 2 ) {\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)} appliquée à x = π/2 :
2 π = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − 1 4 n 2 ) = ∏ n = 1 ∞ 4 n 2 − 1 4 n 2 d o n c π 2 = ∏ n = 1 ∞ 4 n 2 4 n 2 − 1 {\displaystyle {\frac {2}{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{4n^{2}}}\right)=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}-1}{4n^{2}}}\quad {\rm {donc}}\quad {\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}} [ 2] .
Vitesse de convergence La vitesse de convergence, lorsque N tend vers l'infini, de la suite des produits finis
P N = ∏ n = 1 N 4 n 2 4 n 2 − 1 {\displaystyle P_{N}=\prod _{n=1}^{N}{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}} est assez lente, l'écart[ 3] avec π/2 étant un O(1/N ). Cette suite n'est donc pas utilisée numériquement pour calculer des valeurs approchées de π . La précision peut cependant être améliorée en multipliant PN par un développement limité dont les premiers termes sont[ 4] :
1 + 1 4 N − 3 32 N 2 + 3 128 N 3 + o ( 1 N 3 ) . {\displaystyle 1+{\frac {1}{4N}}-{\frac {3}{32N^{2}}}+{\frac {3}{128N^{3}}}+o\left({\frac {1}{N^{3}}}\right).} Ainsi, pour N = 10, on obtient :
P N ≃ 1,533 851903 {\displaystyle P_{N}\simeq 1{,}533851903} ( 1 + 1 4 N ) P N ≃ 1,572 198201 {\displaystyle \left(1+{\frac {1}{4N}}\right)P_{N}\simeq 1{,}572198201} ( 1 + 1 4 N − 3 32 N 2 ) P N ≃ 1,570 760215 {\displaystyle \left(1+{\frac {1}{4N}}-{\frac {3}{32N^{2}}}\right)P_{N}\simeq 1{,}570760215} ( 1 + 1 4 N − 3 32 N 2 + 3 128 N 3 ) P N ≃ 1,570 796164 {\displaystyle \left(1+{\frac {1}{4N}}-{\frac {3}{32N^{2}}}+{\frac {3}{128N^{3}}}\right)P_{N}\simeq 1{,}570796164} alors que
π 2 ≃ 1,570 796327. {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\simeq 1{,}570796327.}
Notes et références ↑ (en) « Weierstrass factorization theorem », sur PlanetMath . ↑ (en) Eric W. Weisstein, « Wallis Formula », sur MathWorld . ↑ Pour une majoration de cet écart, voir cet exercice corrigé sur Wikiversité . ↑ (en) Cristinel Mortici , « Product Approximations via Asymptotic Integration », Amer. Math. Monthly , vol. 117, no 5, mai 2010 , p. 434-442 . Portail des mathématiques