Matrice centrosymétrique
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En mathématiques, en particulier dans l'algèbre linéaire et la théorie des matrices, une matrice centrosymétrique est une matrice qui est symétrique autour de son centre. Plus précisément, un n × n matrice A = [ Ai,j ] est centrosymétrique lorsque ses entrées satisfont
- Ai,j = An−i+1,n−j+1 pour 1 ≤ i,j ≤ n.
Si J désigne une matrice n × n avec 1 sur l'antidiagonale et 0 ailleurs (i.e., Ji,n+1-i = 1; Ji,j = 0 si j ≠ n+1-i), alors une matrice A est centrosymétrique si et seulement si AJ = JA.
Exemples
- Tous les matrices 2 x 2 centrosymétriques ont la forme
- Tous les matrices 3 × 3 centrosymétriques ont la forme
- Les Matrices de Toeplitz symétriques sont centrosymétriques.
Structure algébrique et propriétés
- Si A et B sont des matrices centrosymétriques sur une donnée corps K, puis sont donc A + B et cA pour tout c dans K. En outre, le produit de la matrice AB est centrosymétrique, puisque JAB = AJB = ABJ. Étant donné que la matrice identité est également centrosymétrique, il en résulte que l'ensemble de n × n matrices centrosymétriques sur K est une sous-algèbre de l'algèbre associative de toutes les n × n matrices.
- Si A est une matrice centrosymétrique avec une base propre dimensionnelle m, alors ses vecteurs propres m peuvent chacun être choisis de manière à satisfaire soit x = Jx soit x = -Jx.
- Si A est une matrice centrosymétrique avec des valeurs propres distinctes, alors les matrices qui commutent avec A doivent être centrosymétriques[1].
Structures connexes
La relation centrosymétrique AJ = JA se prête à une généralisation naturelle, où J est remplacée par une matrice involutive K (i.e., K2 = I)[2],[3]. Le problème inverse de la relation de commutation AK = KA, d'identifier tous les involutive K qui commutent avec une matrice fixe A, a également été étudié[1].
Symmetric matrices centrosymétriques sont parfois appelées matrices bisymétriques (en). Lorsque le corps de base est le réels, il a été démontré que les matrices bisymétriques sont précisément ces matrices symétriques dont les valeurs propres sont identiques au signe après pré ou post multiplication par la matrice J[3]. Un résultat similaire est valable pour les matrices hermitiennes centrosymétriques et l' inclinaison centrosymétriques[4].
Notes et références
- ↑ a et b Mark Yasuda, « Some properties of commuting and anti-commuting m-involutions », Acta Mathematica Scientia, vol. 32, no 2, , p. 631–644 (DOI 10.1016/S0252-9602(12)60044-7)
- ↑ Alan Andrew, « Eigenvectors of certain matrices », Linear Algebra Appl., vol. 7, no 2, , p. 151–162 (DOI 10.1016/0024-3795(73)90049-9)
- ↑ a et b David Tao et Mark Yasuda, « A spectral characterization of generalized real symmetric centrosymmetric and generalized real symmetric skew-centrosymmetric matrices », SIAM J. Matrix Anal. Appl., vol. 23, no 3, , p. 885–895 (DOI 10.1137/S0895479801386730, lire en ligne)
- ↑ Mark Yasuda, « A Spectral Characterization of Hermitian Centrosymmetric and Hermitian Skew-Centrosymmetric K-Matrices », SIAM J. Matrix Anal. Appl., vol. 25, no 3, , p. 601–605 (DOI 10.1137/S0895479802418835)
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