Lemme du tube

En mathématiques, le lemme du tube est le résultat de topologie générale suivant[1],[2] :

Si x est un point d'un espace topologique X et si Y est un espace quasi-compact, tout ouvert de X × Y contenant la partie {x} × Y contient un ouvert élémentaire U × Y contenant cette partie.

Il permet par exemple de démontrer simplement que tout produit fini de compacts est compact, sans recourir au théorème de Tychonov.

Remarques

  • Le lemme du tube équivaut à :Pour tout espace X et tout espace quasi-compact Y, la projection X × Y → X est une application fermée.
Preuve de l'équivalence

Dire que cette projection est fermée équivaut à pour tout fermé F de X × Y, l'ensemble des x tels qu'au moins un (x, y) appartienne à F est un fermé de X donc à pour tout ouvert O de X × Y, l'ensemble des x tels que tous les (x, y) appartiennent à O est ouvert dans X, c'est-à-dire voisinage de chacun de ses points, ou encore, à pour tout ouvert O de X × Y et tout x tel que {x} × Y est inclus dans O, il existe un ouvert U contenant x tel que U × Y soit inclus dans O.

  • L'hypothèse que Y est quasi-compact est indispensable : par exemple[3] dans le plan euclidien ℝ × ℝ, l'ouvert {(x, y) ; |x| < 1/(y2 + 1)} contient {0} × ℝ mais ne contient aucun ouvert élémentaire intermédiaire. Plus généralement, pour tout espace Y non quasi-compact, il existe un espace X pour lequel la projection X × Y → X n'est pas fermée, donc dans lequel un certain point x ne vérifie pas le lemme du tube.

Application aux produits finis de compacts

Le lemme du tube permet de montrer que le produit de deux espaces quasi-compacts est quasi-compact[1],[4]. Par récurrence, tout produit fini d'espaces quasi-compacts est donc quasi-compact, si bien que tout produit fini d'espaces compacts (c'est-à-dire quasi-compacts et séparés) est compact.

Ce cas particulier du théorème de Tychonov est ainsi bien plus élémentaire que le cas d'un produit infini[5].

Généralisation

La preuve[4] de la généralisation suivante[6] est à peine plus compliquée que la preuve directe[1] du lemme du tube.

Si A est une partie quasi-compacte d'un espace X et B une partie quasi-compacte d'un espace Y, tout ouvert contenant la partie A × B contient un ouvert élémentaire U × V contenant cette partie.

Elle permet de montrer[4] que dans un espace séparé, deux parties compactes disjointes sont toujours incluses dans deux ouverts disjoints.

Notes et références

Sur les autres projets Wikimedia :

  • Exercice corrigé sur le lemme du tube, sur Wikiversity
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Tube lemma » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ a b et c (en) James Munkres, Topology, Prentice Hall, , 2e éd. (lire en ligne), p. 167-168.
  2. ↑ (en) Joseph Rotman (en), An Introduction to Algebraic Topology, Springer, coll. « GTM » (no 119), , 438 p. (ISBN 978-0-387-96678-6, lire en ligne), p. 189-190, Lemma 8.9’.
  3. ↑ Munkres 2000, p. 168-169.
  4. ↑ a b et c Voir l'exercice corrigé sur Wikiversité (lien ci-contre).
  5. ↑ Munkres 2000, p. 169.
  6. ↑ Souvent proposée à titre d'exercice, comme dans Munkres 2000, p. 171.
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