En mathématiques , le groupe de Heisenberg d'un anneau unifère A (non nécessairement commutatif) est le groupe multiplicatif des matrices triangulaires supérieures de taille 3 à coefficients dans A et dont les éléments diagonaux sont égaux au neutre multiplicatif de l'anneau :
H 3 ( A ) = { ( 1 a c 0 1 b 0 0 1 ) | a , b , c ∈ A } . {\displaystyle H_{3}(A)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}~\right|~a,b,c\in A\right\}.} Originellement, l'anneau A choisi par Werner Heisenberg était le corps ℝ des réels . Le « groupe de Heisenberg continu », H 3 ( R ) {\displaystyle H_{3}(\mathbb {R} )} , lui a permis d'expliquer, en mécanique quantique , l'équivalence entre la représentation de Heisenberg et celle de Schrödinger . On peut généraliser sa définition en géométrie symplectique .
Le « groupe de Heisenberg discret » H 3 ( Z ) {\displaystyle H_{3}(\mathbb {Z} )} correspond à l'anneau ℤ des entiers.
Le groupe de Heisenberg H 3 ( F p ) {\displaystyle H_{3}({\rm {F}}_{p})} , où p est un nombre premier, correspond au corps premier fini F p = ℤ/p ℤ. C'est un p -groupe fini, d'ordre p 3 .
Structure de groupe H 3 ( A ) {\displaystyle H_{3}(A)} est un sous-groupe du groupe linéaire GL(3, A ).
La loi sur A 3 induite par la bijection
A 3 → H 3 ( A ) , ( a , b , c ) ↦ ( 1 a c 0 1 b 0 0 1 ) , {\displaystyle A^{3}\to H_{3}(A),\quad (a,b,c)\mapsto {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}},} est :
( a , b , c ) ( a ′ , b ′ , c ′ ) = ( a + a ′ , b + b ′ , c + c ′ + a b ′ ) . {\displaystyle (a,b,c)(a',b',c')=(a+a',b+b',c+c'+ab').} C'est donc le produit semi-direct A ⋉(A ×A ), le groupe additif A agissant sur le produit direct A ×A par : a ⋅(b , c ) = (b , c + ab ).
Par construction, A 3 muni de cette loi est un groupe isomorphe à H 3 ( A ) {\displaystyle H_{3}(A)} , dans lequel :
les puissances n -ièmes sont données par ( a , b , c ) n = ( n a , n b , n c + n ( n − 1 ) 2 a b ) {\displaystyle (a,b,c)^{n}=\left(na,nb,nc+{\frac {n(n-1)}{2}}ab\right)} , le symétrique de ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} est ( − a , − b , − c + a b ) {\displaystyle (-a,-b,-c+ab)} , donc le commutateur [ x , y ] := x y x − 1 y − 1 {\displaystyle \left[x,y\right]:=xyx^{-1}y^{-1}} de x := ( a , b , c ) {\displaystyle x:=(a,b,c)} et y := ( a ′ , b ′ , c ′ ) {\displaystyle y:=(a',b',c')} est ( 0 , 0 , a b ′ − b a ′ ) {\displaystyle (0,0,ab'-ba')} , donc le groupe dérivé et le centre sont égaux à 0×0 ×A . Le groupe H 3 ( A ) {\displaystyle H_{3}(A)} est par conséquent nilpotent de classe 2, donc non abélien (sauf si A est l'anneau nul , auquel cas le groupe est trivial ).
Groupe de Heisenberg continu H 3 ( R ) {\displaystyle H_{3}(\mathbb {R} )} est un groupe de Lie réel de dimension 3. Le groupe de Heisenberg discret H 3 ( Z ) {\displaystyle H_{3}(\mathbb {Z} )} en est un réseau.
Géométrie symplectique linéaire Plus généralement, on peut associer un groupe de Heisenberg à tout espace vectoriel symplectique ( V , ω ) {\displaystyle (V,\omega )} ( ω {\displaystyle \omega } est une forme bilinéaire non dégénérée alternée sur V {\displaystyle V} ). Le groupe de Heisenberg H ( V ) {\displaystyle H(V)} est l'espace topologique produit V × R {\displaystyle V\times \mathbb {R} } , muni de la loi de groupe :
( v 1 , t 1 ) ∗ ( v 2 , t 2 ) = ( v 1 + v 2 , t 1 + t 2 + 1 2 ω ( v 1 , v 2 ) ) . {\displaystyle (v_{1},t_{1})*(v_{2},t_{2})=\left(v_{1}+v_{2},t_{1}+t_{2}+{\tfrac {1}{2}}\omega (v_{1},v_{2})\right).} Le groupe H ( V ) {\displaystyle H(V)} est une extension du groupe additif de V {\displaystyle V} . L'algèbre de Lie de H ( V ) {\displaystyle H(V)} est l'espace vectoriel h ( V ) = V ⊕ R {\displaystyle h(V)=V\oplus \mathbb {R} } , muni du crochet de Lie
[ ( v 1 , t 1 ) , ( v 2 , t 2 ) ] = ( 0 , ω ( v 1 , v 2 ) ) . {\displaystyle [(v_{1},t_{1}),(v_{2},t_{2})]=(0,\omega (v_{1},v_{2})).}
Groupe de Heisenberg discret Le groupe H 3 ( Z ) {\displaystyle H_{3}(\mathbb {Z} )} , identifié à Z 3 {\displaystyle \mathbb {Z} ^{3}} muni de la loi ci-dessus , est engendré par x := ( 1 , 0 , 0 ) {\displaystyle x:=(1,0,0)} et y := ( 0 , 1 , 0 ) {\displaystyle y:=(0,1,0)} . En faisant intervenir leur commutateur z := [ x , y ] = ( 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle z:=\left[x,y\right]=(0,0,1)} , on démontre qu'une présentation de ce groupe est donnée par trois générateurs x , y , z {\displaystyle x,y,z} et trois relations : z = x y x − 1 y − 1 {\displaystyle z=xyx^{-1}y^{-1}} , x z = z x {\displaystyle xz=zx} et y z = z y {\displaystyle yz=zy} .
D'après le théorème de Bass , H 3 ( Z ) {\displaystyle H_{3}(\mathbb {Z} )} a une croissance (en) polynomiale d'ordre 4.
Groupe de Heisenberg sur Fp D'après sa structure (voir supra ) :
H 3 ( F p ) {\displaystyle H_{3}({\rm {F}}_{p})} a un centre d'ordre p et son quotient par ce centre est un p -groupe abélien élémentaire (en) (isomorphe à (ℤ/p ℤ)×(ℤ/p ℤ)) : on dit que H 3 ( F p ) {\displaystyle H_{3}({\rm {F}}_{p})} est un p -groupe extra-spécial (en) ; ce quotient est aussi l'abélianisé de H 3 ( F p ) {\displaystyle H_{3}({\rm {F}}_{p})} .
Cas p premier impair Le groupe H 3 ( F p ) {\displaystyle H_{3}({\rm {F}}_{p})} est le quotient de H 3 ( Z ) = Z ⋉ ( Z × Z ) {\displaystyle H_{3}(\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} \ltimes (\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} )} par le sous-groupe normal p Z ⋉ ( p Z × p Z ) {\displaystyle p\mathbb {Z} \ltimes (p\mathbb {Z} \times p\mathbb {Z} )} . Comme p est impair, ce sous-groupe est constitué des puissances p -ièmes d'éléments du groupe. Une présentation de H 3 ( F p ) {\displaystyle H_{3}({\rm {F}}_{p})} (déduite de celle de H 3 ( Z ) {\displaystyle H_{3}(\mathbb {Z} )} ci-dessus) est donc donnée par trois générateurs x , y , z {\displaystyle x,y,z} et les relations : z = x y x − 1 y − 1 {\displaystyle z=xyx^{-1}y^{-1}} , x z = z x {\displaystyle xz=zx} , y z = z y {\displaystyle yz=zy} et x p = y p = z p = 1 {\displaystyle x^{p}=y^{p}=z^{p}=1} .
L'exposant de H 3 ( F p ) {\displaystyle H_{3}({\rm {F}}_{p})} est p .
Cas p = 2 Le groupe H 3 ( F 2 ) {\displaystyle H_{3}({\rm {F}}_{2})} est isomorphe au groupe diédral D8 . En effet, il est d'ordre 8 et engendré par les images x ¯ , y ¯ {\displaystyle {\overline {x}},{\overline {y}}} des générateurs x , y {\displaystyle x,y} de H 3 ( Z ) {\displaystyle H_{3}(\mathbb {Z} )} , ou encore par σ := x ¯ {\displaystyle \sigma :={\overline {x}}} , d'ordre 2 et τ := x ¯ y ¯ {\displaystyle \tau :={\overline {x}}{\overline {y}}} , d'ordre 4, qui vérifient σ τ σ − 1 = τ − 1 . {\displaystyle \sigma \tau \sigma ^{-1}=\tau ^{-1}.}
Voir aussi
Lien externe (en) Keith Conrad, « Groups of order p 3 »
Bibliographie (en) Daniel K. Biss et Samit Dasgupta, « A presentation for the unipotent group over rings with identity », Journal of Algebra , vol. 237, no 2, 2001 , p. 691-707 (DOI 10.1006/jabr.2000.8604 )
Portail des mathématiques