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Une fonction ou application sous-identitaire (où vérifiant la sous-identité), est une fonction vérifiant .
Le plus souvent, , et désigne la relation d'ordre usuelle sur les nombres réels.
Définition
Une fonction sous-identitaire est une fonction dont les images sont plus petites que celles de la fonction identité, au sens de la relation d'ordre donnée sur les ensembles donnés. On dit alors que la fonction est majorée par la fonction identité.
Ainsi, l'application est sous-identitaire si et seulement si , où désigne l'ordre produit.
Pour les fonctions à valeurs réelles, est sous-identitaire si et seulement si , où désigne la fonction nulle.
Exemples
Voici des exemples précis de fonctions sous-identitaires :
est sous-identitaire.
En effet, . Cette propriété sur le logarithme est très utile en analyse.
est sous-identitaire.
En effet, par définition de la partie entière, est l'unique entier qui vérifie [1].
Soit un ensemble , et soit . Alors est sous-identitaire pour la relation d'ordre .
En effet, par décroissance de l'intersection, .
est sous-identitaire pour l'ordre lexicographique sur les familles des coefficients polynomiaux (en partant du coefficient de plus fort degré).
En effet, si et , alors , donc .
Conditions
Conditions suffisantes
Voici des conditions suffisantes pour qu'une fonction soit sous-identitaire :
Si est une fonction concave dont la tangente en un point est la droite d'équation, alors est sous-identitaire.
Si , alors est sous-identitaire.
Si est une fonction affine de pente unitaire dont l'ordonnée à l'origine est négative, alors est sous-identitaire. Il s'agit d'une translation de la fonction identité de unités vers le bas.
Si , alors est sous-identitaire.
Si est convexe sur un intervalle , que et que , alors est sous-identitaire.
Si et , alors est sous-identitaire.
Conditions nécessaires
Si est sous-identitaire, alors elle doit nécessairement vérifier les propriétés suivantes :
Une fonction polynomiale de degré impair ou de degré n'est ni sous-identitaire, ni sur-identitaire. Si une fonction polynomiale est sous-identitaire (respectivement sur-identitaire), alors elle est nécessairement unitaire et de degré 1, ou de degré pair et de coefficient dominant négatif (respectivement positif).
Si , et si la restriction à de est sur-identitaire, alors définie par est sur-identitaire.
Exemples
est sur-identitaire.
est sur-identitaire.
Soit un ensemble , et soit . Alors est sur-identitaire pour la relation d'ordre .
Strictement sous-identitaire et strictement sur-identitaire
Définition
Une fonction ou application strictementsous-identitaire (respectivement strictementsur-identitaire), est une fonction vérifiant (respectivement ).
Si est sous-identitaire (respectivement sur-identitaire), alors , est strictement sous-identitaire (respectivement est strictement sur-identitaire).
Si est strictement sous-identitaire (strictement respectivement sur-identitaire), alors elle est sous-identitaire (respectivement sur-identitaire).
Caractérisation
est strictement sous-identitaire (respectivement strictement sur-identitaire) si et seulement si est sous-identitaire (respectivement sur-identitaire) et n'admet pas de point fixe.
Exemples
Les restrictions à et de la fonction sont respectivement strictement sous-identitaire et strictement sur-identitaire.
est strictement sur-identitaire.
est strictement sur-identitaire.
est strictement sous-identitaire (par définition de la partie entière supérieure).
Absolument sous-identitaire et absolument sur-identitaire
Définition
Une fonction ou application absolumentsous-identitaire (respectivement absolumentsur-identitaire) d'une partie espace vectoriel normé vers une partie d'un espace vectoriel normé est une fonction vérifiant (respectivement ).
Caractérisation
Une fonction continue de dans est absolument sous-identitaire lorsque sa norme subordonnée est plus petite que 1, c'est-à-dire lorsque .
Remarques
Les applications à la fois absolument sous-identitaires et absolument sur-identitaires sont les isométries.
Une application absolument sous-identitaire vaut nécessairement 0 en 0, par séparation et positivité de la norme.
Les similitudes directes sont des cas particuliers d'applications absolument sous-identitaires (si le rapport de similitude est plus petit que 1) ou absolument sur-identitaires (si le rapport de similitude est plus grand que 1).
Les applications de dans sur-identitaires sont absolument sur-identitaires pour la valeur absolue.