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Dans la Modélisation géométrique, le principe du Blossoming établit un lien entre les points d'une courbe et ses points des contrôle. Il a été découvert en 1984 par Paul de Casteljau et publié par Lyle Ramshaw en 1987. Dans le cas d'arguments identiques (appelé la diagonale), le blossom (où floraison) détermine le point d'une courbe, dans le cas d'arguments consécutifs, un point de contrôle de cette courbe. En particulier, le blossoming relie les théories des courbes de Bézier et des courbes et surfaces B-spline, c'est-à-dire l'algorithme de Casteljau et l'algorithme de Boor.
L'exemple d'une courbe de Bézier de degré montre clairement, comment le blossoming permet de déterminer à la fois les points de la courbe (dans l'image et ) et les points de contrôle (dans l'image et )
Le Blossom de la courbe de Bézier
est le polynôme symétrique et tri-affine
Si nous insérons des valeurs spéciales pour , on obtient
Plus encore, nous pouvons également calculer directement les points intermédiaires de l'algorithme de Casteljau sous forme de
Blossoming d'une Spline
Nous assemblons des courbes polynomiales par morceaux pour obtenir la courbe Spline.
avec B-splines . Si l'on met bout à bout les intervalles de paramètres sous-jacents, on obtient une séquence de nœuds . Le blossoming sur les sous-intervalles conduit aux courbes de Bézier respectives ou aux points de contrôle de l'algorithme de Casteljau, soit par exemple
Le blossoming au-delà des sous-intervalles conduit aux points de contrôle de l'algorithme de de Boor:
Blossom et Osculante
Pour une courbe polynomiale de degré n, nous définissons
comme la première osculante de au nœud . C'est une courbe polynomiale de degré en et n'a en commun avec que le point où les courbes ont un contact d'ordre .
Pour , il est possible de déterminer une nouvelle osculante au nœud . C'est la deuxième oscillante de aux nœuds et :
Propriétés des Osculantes
Les Osculantes possèdent les propriétés suivantes:
Elles sont symétriques dans les nœuds:
Elles sont affines dans les nœuds: De découle
Leur diagonale est identique à la courbe:
Les osculants ont été introduits en 1886 par Stanislaus Jolles dans sa thèse d'habilitation. Dans le cas paramétrique, ils sont identiques aux blossoms de de Casteljau et Ramshaw et peuvent être facilement déduits par blossoming : Pour une courbe de Bézier cubique avec les points de contrôle , l'osculante au nœud est définie par les points de contrôle de Bézier suivants : .
Références
Stanislaus Jolles, Die Theorie der Osculanten und das Sehnensystem der Raumcurve IV. Ordnung II. Species; Ein Beitrag zur Theorie der rationalen Ebenenbüschel, Aachen, J. A. Mayer,
Paul de Casteljau, Formes à Pôles, Hermès, coll. « Mathématiques et CAO »,
Paul de Casteljau, Mathematical methods in computer aided geometric design II, Academic Press Professional, Inc., (ISBN978-0-12-460510-7), « POLynomials, POLar Forms, and InterPOLation »
Lyle Ramshaw, Blossoming: A Connect-the-Dots Approach to Splines, Digital Systems Research Center,
Lyle Ramshaw, Blossoms are polar forms, Digital Systems Research Center,
Gerald Farin, Curves and Surfaces for CAGD: A Practical Guide, Morgan Kaufmann, , 5e éd. (ISBN1-55860-737-4)
Marie-Laurence Mazure, Blossoming stories, Numerical Algorithms, , p. 257-288