Wess-Zumino-Witten模型

理論物理與數學中， 威斯-朱米諾-維騰模型（Wess-Zumino-Novikov-Witten model，WZW），乃一簡單之 共形場論，其解可以用仿射李代數表達。其名來自朱利斯·外斯、布鲁诺·朱米诺、謝爾蓋·彼得羅維奇·諾維科夫與爱德华·威滕。

作用

設G為緊緻單連通李羣，設g為其李代數。設γ為黎曼球面 S 2 {\displaystyle S^{2}} （複平面之一點緊緻化）上一G-值場

Wess-Zumino-Witten 模型是γ所定義之非線性 sigma 模型，其作用為

S k ( γ ) = − k 8 π ∫ S 2 d 2 x K ( γ − 1 ∂ μ γ , γ − 1 ∂ μ γ ) + 2 π k S W Z ( γ ) {\displaystyle S_{k}(\gamma )=-\,{\frac {k}{8\pi }}\int _{S^{2}}d^{2}x\,{\mathcal {K}}(\gamma ^{-1}\partial ^{\mu }\gamma \,,\,\gamma ^{-1}\partial _{\mu }\gamma )+2\pi k\,S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )} ；

其中首項為量子場論中常見之動量項，重覆指標相加，度量為歐幾里得度量， K {\displaystyle {\mathcal {K}}} 為g上之Killing 二次式，而 ∂ μ = ∂ / ∂ x μ {\displaystyle \partial _{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }} 為 偏導數。

SWZ 項人稱 Wess-Zumino 項，其定義為

S W Z ( γ ) = − 1 48 π 2 ∫ B 3 d 3 y ϵ i j k K ( γ − 1 ∂ γ ∂ y i , [ γ − 1 ∂ γ ∂ y j , γ − 1 ∂ γ ∂ y k ] ) {\displaystyle S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )=-\,{\frac {1}{48\pi ^{2}}}\int _{B^{3}}d^{3}y\,\epsilon ^{ijk}{\mathcal {K}}\left(\gamma ^{-1}\,{\frac {\partial \gamma }{\partial y^{i}}}\,,\,\left[\gamma ^{-1}\,{\frac {\partial \gamma }{\partial y^{j}}}\,,\,\gamma ^{-1}\,{\frac {\partial \gamma }{\partial y^{k}}}\right]\right)}

其中 [,] 為交換子， ϵ i j k {\displaystyle \epsilon ^{ijk}} 為完全反對稱張量，i=1,2,3， y i {\displaystyle y^{i}} 為積分座標，取值於單位球 B 3 {\displaystyle B^{3}} 。 在此積分中，場γ 被延拓至單位球之內部——此所以可能，是由於任何緊緻單連通李羣之第二同倫羣 π 2 ( G ) {\displaystyle \pi _{2}(G)} 俱為零（γ已於球面上定義）。

拉回

注意：若 e a {\displaystyle e_{a}} 為李代數g之基向量，則 K ( e a , [ e b , e c ] ) {\displaystyle {\mathcal {K}}(e_{a},[e_{b},e_{c}])} 為g 之 結構常數。結構常數是反對稱的，因而定義了一G 上一个三次微分形式。故上述積分實為球 B 3 {\displaystyle B^{3}} 上之三次調和式的拉回。記此三次式為 c、其拉回為 γ ∗ {\displaystyle \gamma ^{*}} ，則我们有

S W Z ( γ ) = ∫ B 3 γ ∗ c {\displaystyle S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )=\int _{B^{3}}\gamma ^{*}c}

自此我们可用拓撲方法分析 WZ-項。

拓撲障礙

γ 有多種延拓至球 B 3 K {\displaystyle B^{3}K} 之內部；若要求物理現象不依賴於特定之延拓，則常數k需符合以下「量子條件」：

  • 取γ 到球內部之任何兩種延拓。是為平三維區域至李羣G之兩支影射。在其邊界 S 2 {\displaystyle S^{2}} 黏起此兩個三維球，則成一三維球面 S 3 {\displaystyle S^{3}} ；其中每一三維半球面來自一 B 3 {\displaystyle B^{3}} 。 γ 之兩種延拓則成為一影射： S 3 → G {\displaystyle S^{3}\rightarrow G} 。然而，任何緊緻單連通李羣G之同倫羣

π 3 ( G ) = Z {\displaystyle \pi _{3}(G)=\mathbb {Z} } 。故

S W Z ( γ ) = S W Z ( γ ′ ) + n {\displaystyle S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )=S^{\mathrm {W} Z}(\gamma ')+n}

其中 γ 與 γ' 表示兩種延拓， n為一整數——黏合後影射之卷绕数。兩種延拓會帶來相同的物理系統，若

exp ⁡ ( i 2 π k S W Z ( γ ) ) = exp ⁡ ( i 2 π k S W Z ( γ ′ ) ) {\displaystyle \exp \left(i2\pi kS^{\mathrm {W} Z}(\gamma )\right)=\exp \left(i2\pi kS^{\mathrm {W} Z}(\gamma ')\right)}

是故，耦合常數k必須為整數。當G是半單李羣，或不連通緊緻羣， 則由每一連通部所給之一整數構成此階（level）。

此拓撲障礙亦可以相應之仿射李代數之表示論體現。 當每一階為一整數，則存在該仿射李代數之酉最高權表示，而其最高權為 dominant integral。此等表示是可積表示[1]。

我们亦常遇相應於一非緊緻單李羣－例如 SL(2,R)－之 WZW 模型。胡安·马尔达西那與Hirosi Ooguri（英语：Hirosi Ooguri）以此描述三維反德西特空間上之弦理論。此時 π3(SL(2,R))=0，故不存在拓撲障礙，而其階亦不必為整數。

推廣

上述各 WZW 模型俱定義於黎曼球面上。我们亦可定義一般緊緻黎曼曲面上之場γ。

參見

參攷

  • J. Wess, B. Zumino, "Consequences of anomalous Ward identities", Physics Letters B, 37 (1971) pp. 95-97.
  • E. Witten, "Global aspects of current algebra", Nuclear Physics B 223 (1983) pp. 422-432.
  • V. Kac, Infinite dimensional Lie algebras

註

  1. ^ Kac, Victor, Infinite dimensional Lie algebras, ISBN 0-521-46693-8 第十章，