Kampé de Fériet函数

Kampé de Fériet函数是法兰西数学家Joseph Kampé de Fériet（英语：Joseph Kampé de Fériet）在1937年为推广广义超几何函数而创建的二元特殊函数，将同样是二元函数的阿佩尔超几何函数作为它的特殊情形，其定义如下：

F r , s p , q ( a 1 , ⋯ , a p : b 1 , b 1 ′ ; ⋯ ; b q , b q ′ ; c 1 , ⋯ , c r : d 1 , d 1 ′ ; ⋯ ; d s , d s ′ ; x , y ) = ∑ m = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ ( a 1 ) m + n ⋯ ( a p ) m + n ( c 1 ) m + n ⋯ ( c r ) m + n ( b 1 ) m ( b 1 ′ ) n ⋯ ( b q ) m ( b q ′ ) n ( d 1 ) m ( d 1 ′ ) n ⋯ ( d s ) m ( d s ′ ) n ⋅ x m y n m ! n ! . {\displaystyle F_{r,s}^{p,q}\left({\begin{matrix}a_{1},\cdots ,a_{p}\colon b_{1},b_{1}{}';\cdots ;b_{q},b_{q}{}';\\c_{1},\cdots ,c_{r}\colon d_{1},d_{1}{}';\cdots ;d_{s},d_{s}{}';\end{matrix}}x,y\right)=\sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{m+n}\cdots (a_{p})_{m+n}}{(c_{1})_{m+n}\cdots (c_{r})_{m+n}}}{\frac {(b_{1})_{m}(b_{1}{}')_{n}\cdots (b_{q})_{m}(b_{q}{}')_{n}}{(d_{1})_{m}(d_{1}{}')_{n}\cdots (d_{s})_{m}(d_{s}{}')_{n}}}\cdot {\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}}.}

应用

一般的六次方程可以通过Kampé de Fériet函数求解。

Kampé de Fériet函数也可以用来表示广义超几何函数对某个参数的导数，或是两到三个Meijer_G-函数的不定积分。（如同其他超几何函数一样，单个Meijer_G-函数的不定积分可以用自身表示）

参考文献

  • Exton, Harold, Handbook of hypergeometric integrals, Mathematics and its Applications, Chichester: Ellis Horwood Ltd., 1978 [2015-04-04], ISBN 978-0-85312-122-0, MR 0474684, （原始内容存档于2014-06-28） 
  • Kampé de Fériet, M. J., La fonction hypergéométrique., Mémorial des sciences mathématiques 85, Paris: Gauthier-Villars, 1937 [2015-04-04], JFM 63.0996.03, （原始内容存档于2014-06-28） （法语） 
  • Ragab, F. J. Expansions of Kampe de Feriet's double hypergeometric function of higher order. J. f. reine angew. Mathem. 1963, (212): 113–119. doi:10.1515/crll.1963.212.113. 

外部链接