HOMFLY多項式

在紐結理論中，HOMFLY多項式或HOMFLY-PT多項式是一種雙變元的纽结多项式；透過變元代換，它可以涵括瓊斯多項式與亞歷山大多項式在三維的情形。

「HOMFLY」一名得自該多項式的發現者：Hoste、Ocneanu、Millett、Freyd、Lickorish、Yetter；「PT」二字旨在紀念另兩位獨立發現此結不變量的數學家 Przytycki 與 Traczyk。

拆接關係

HOMFLY多項式 P K ( ℓ , m ) = P ( K ) {\displaystyle P_{K}(\ell ,m)=P(K)} 由下述拆接關係唯一地定義：

P ( u n k n o t ) = 1 , {\displaystyle P(\mathrm {unknot} )=1,\,}
ℓ P ( L + ) + ℓ − 1 P ( L − ) + m P ( L 0 ) = 0 , {\displaystyle \ell P(L_{+})+\ell ^{-1}P(L_{-})+mP(L_{0})=0,\,}

其中unknot是平凡纽结； L + , L − , L 0 {\displaystyle L_{+},L_{-},L_{0}} 代表結圖表在某個交點附近的性狀，如次圖所示：

上述關係可用以遞迴計算任一紐結之HOMFLY多項式，亦可導出

P ( L 1 ⊔ L 2 ) = − ( l + l − 1 ) m P ( L 1 ) ∗ P ( L 2 ) {\displaystyle P(L_{1}\sqcup L_{2})={\frac {-(l+l^{-1})}{m}}P(L_{1})*P(L_{2})}

其它拆接關係

透過適當的變元代換，上節的拆接關係可換為

α P ( L + ) − α − 1 P ( L − ) = z P ( L 0 ) {\displaystyle \alpha P(L_{+})-\alpha ^{-1}P(L_{-})=zP(L_{0})}
或者
x P ( L + ) + y P ( L − ) + z P ( L 0 ) = 0 {\displaystyle xP(L_{+})+yP(L_{-})+zP(L_{0})=0}

主要性質

與瓊斯多項式的關係：

V ( t ) = P ( α = t , z = t 1 / 2 − t − 1 / 2 ) {\displaystyle V(t)=P(\alpha =t,z=t^{1/2}-t^{-1/2})}

與亞歷山大多項式的關係：

Δ ( t ) = P ( α = 1 , z = t 1 / 2 − t − 1 / 2 ) {\displaystyle \Delta (t)=P(\alpha =1,z=t^{1/2}-t^{-1/2})}

對鏡像與連通和的關係：

P ( L 1 # L 2 ) = P ( L 1 ) P ( L 2 ) , {\displaystyle P(L_{1}\#L_{2})=P(L_{1})P(L_{2}),\,}
P K ( ℓ , m ) = P M i r r o r I m a g e ( K ) ( ℓ − 1 , m ) {\displaystyle P_{K}(\ell ,m)=P_{\mathrm {MirrorImage(K)} }(\ell ^{-1},m)}

陈-西蒙斯理论

SU(N)规范群的三维陈-西蒙斯理论给予HOMFLY多项式。[1]

参考文献

  1. ^ Witten, Edward. Quantum field theory and the Jones polynomial. Communications in Mathematical Physics. 1989-09, 121 (3): 351–399. ISSN 0010-3616. doi:10.1007/BF01217730 （英语）. 

相關文獻

  • Peter Cromwell (2004), Knots and Links, Cambridge University Press. ISBN 0-521-54831-4
  • 查
  • 论
  • 编
Hyperbolic link（英语：Hyperbolic link）
Satellite knot（英语：Satellite knot）环面纽结
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  • 五叶结（英语：cinquefoil knot）
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