Demet teoremi

Geometride demet teoremi; en basit durumda, gerçek Öklid düzlemindeki altı çember ve sekiz nokta üzerine bir ifadedir. Genel olarak, sadece oval Möbius düzlemleri tarafından meydana getirilen bir Möbius düzleminin bir özelliğidir. Demet teoremi Miquel teoremi ile karıştırılmamalıdır.

Açıklama

Gerçek Öklid uzayındaki oval bir Möbius düzlemi, bir küre veya bir elipsoid veya bir elipsoidin uygun bir yarısına yapıştırılmış bir kürenin yarısı veya x 4 + y 4 + z 4 = 1 {\displaystyle x^{4}+y^{4}+z^{4}=1} , . . . . denklemli yüzey gibi yumurtaya benzer bir yüzeyin düzlem bölümlerinin geometrisi olarak düşünülebilir. Yumurta benzeri yüzey sadece bir küre ise, klasik gerçek Möbius düzleminin uzay modeli, küre üzerindeki çember geometrisi elde edilir.

Bir oval Möbius düzleminin temel özelliği, bir ovoid aracılığıyla bir uzay modelinin varlığıdır. 3 boyutlu bir izdüşümsel uzaydaki bir ovoid, a) 0, 1 veya 2 noktalardaki çizgilerle kesişen ve b) rastgele bir noktadaki teğetleri, düzlemi (teğet düzlemi) kapsayan bir noktalar kümesidir. İzdüşümsel 3-uzayda bir ovoidin geometrisi, oval Möbius düzlemi olarak adlandırılan bir Möbius düzlemidir. Geometrinin nokta kümesi, ovoidin noktalarından oluşur ve eğriler (döngüler), ovoidin düzlem bölümleridir. Uygun bir stereografik izdüşüm şunları gösterir: Herhangi bir oval Möbius düzlemi için bir düzlem modeli vardır.[1] Klasik durumda düzlem modeli, dairelerin ve çizgilerin geometrisidir (herhangi bir çizgi ∞ {\displaystyle \infty } bir nokta ile tamamlanır.). Demet teoreminin bir düzlemsel ve bir uzaysal yorumu vardır. Düzlemsel modelde, ilgili çizgiler olabilir. Demet teoreminin ispatı, uzamsal model içinde gerçekleştirilir.

Möbius düzlemi: Demet teoremi

Herhangi bir oval Möbius düzlemi için M {\displaystyle {\mathfrak {M}}} demet teoremi şunları savunur:

Demet teoremi:

  • Eğer farklı A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , B 1 , B 2 , B 3 , B 4 {\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},B_{1},B_{2},B_{3},B_{4}} noktaları için altı dörtlünün Q i j := { A i , B i , A j , B j } ,   i < j {\displaystyle Q_{ij}:=\{A_{i},B_{i},A_{j},B_{j}\},\ i<j} , beşi en az dört c i j {\displaystyle c_{ij}} döngüsünde aynı çember içinde bulunur (bir döngüde bulunur), öyleyse 6. dörtlü de aynı çember içinde bulunur.[2]

Kanıt, esasen 3 boyutlu bir izdüşümsel uzaydaki üç düzlemin tek bir noktada kesiştiği gerçeğini kullanan aşağıdaki faktörlerin bir sonucudur:

  1. Döngüleri içeren düzlemler c 23 , c 34 , c 24 {\displaystyle c_{23},c_{34},c_{24}} bir P {\displaystyle P} noktasında kesişir. Bu nedenle P {\displaystyle P} , A 2 B 2 ,   A 4 B 4 {\displaystyle A_{2}B_{2},\ A_{4}B_{4}} doğrularının (uzayda !) kesişme noktasıdır.
  2. c 12 , c 14 , c 24 {\displaystyle c_{12},c_{14},c_{24}} döngülerini içeren düzlemler P ′ {\displaystyle P'} noktasında kesişir. Bu nedenle P ′ {\displaystyle P'} aynı zamanda A 2 B 2 ,   A 4 B 4 {\displaystyle A_{2}B_{2},\ A_{4}B_{4}} doğrularının kesişme noktasıdır.

Bu şunları sağlar: a) P = P ′ {\displaystyle P=P'} ve b) A 1 B 1 ,   A 3 B 3 {\displaystyle A_{1}B_{1},\ A_{3}B_{3}} aynı zamanda P {\displaystyle P} noktasında kesişir. Son ifade şu anlama gelir: A 1 , B 1 , A 3 , B 3 {\displaystyle A_{1},B_{1},A_{3},B_{3}} döngüseldir. İlgili düzlemler ortak bir P {\displaystyle P} noktasına sahip olup, bunlar bir düzlem demetinin öğeleridir.

Demet teoreminin önemi Jeff Kahn tarafından gösterildi.

Kahn Teoremi: Bir Möbius düzlemi, ancak ve ancak demet teoremini yerine getirirse, ovaldir.[3]

Demet teoremi, izdüşümsel düzlemler için Desargues teoreminin Möbius düzlemleri için olduğuna benzer bir anlama sahiptir. Demet teoremi, a) bir aykırı cisim (bölme halkası) ve b) bir ovoidin mevcudiyetini izler. Miquel'in daha katı teoremi geçerliyse, aykırı cisim bile değişmeli (cisim) ve ovoid bir kuadriktir.

Not: Ovoid olmayan Möbius düzlemleri vardır.[4]

Not: Oval Laguerre düzlemleri için de benzer anlamı olan bir demet teoremi vardır.[5]

Notlar

  1. ^ Hartmann, s. 63.
  2. ^ Hartmann, s. 61.
  3. ^ Kahn, s. 62.
  4. ^ Hartmann, s. 64.
  5. ^ Hartmann, s. 78.

Kaynakça

  • Hartmann, Erich. Düzlemsel Çember Geometrileri, Möbius-, Laguerre- ve Minkowski Düzlemlerine Giriş. 15 Aralık 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (PDF; 891 kB) Matematik Bölümü, Darmstadt Teknoloji Üniversitesi
  • Kahn, Jeff. Demet teoremini sağlayan ters düzlemler 24 Eylül 2015 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.. Journal of Combinatorial Theory, Series A, Volume 29, Issue 1, ss. 1-19, July 1980. doi: 10.1016 / 0097-3165 (80) 90043-6

Konuyla ilgili yayınlar

  • P. Dembowski, Sonlu Geometriler, Springer-Verlag (1968) 3-540-61786-8, s. 256
  • W. Benz, Vorlesungen über Geometrie der Algebren, Springer (1973)
  • Rolfdieter Frank, (1985), A proof of the Bundle Theorem for certain semimodular locally projective lattices of rank 4, Journal of Combinatorial Theory, Series A Volume 39, Issue 2, ss. 222-225, https://doi.org/10.1016/0097-3165(85)90038-X, Makale 12 Nisan 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  • Nanjun Yang, (2006), Projective Bundle Theorem in MW-Motivic Cohomology, https://arxiv.org/abs/2006.11774
  • Dale Husemöller, Michael Joachim, Branislav Jurco, Martin Schottenloher, (2008), Basic Bundle Theory and K-Cohomology Invariants, 9783540749554
  • Jean Fasel, (2013), The projective bundle theorem for Ij-cohomology, doi:10.1017/is013002015jkt217, Makale 5 Mart 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. veya Makale
  • Alexey Ananyevskiy, (2015), The special linear version of the projective bundle theorem, Cambridge University Press, Compositio Mathematica, Volume 151, Issue 3, ss. 461-501, https://doi.org/10.1112/S0010437X14007702, Makale 21 Eylül 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. veya Makale 21 Eylül 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  • Kien Trung Nguyen; Worawiset, Somnuek; Tran Thu Le, (2017), On Generalizations of Bundle Theorem and Miquel's Six Circles Theorem on the Plane, International Journal of Geometry, Vol. 6 Issue 2, ss 93-102.