Sadece tam sayılar için yazılan gama fonksiyonu faktöriyel'dir, beta fonksiyonu binomial katsayılar endeksi tarafından tanımlanabilir:
Ayrıca her tam sayısı için, 'nın sürekli değerleri için öteleme fonksiyonu kapalı formunun integrallenmiş şekli
İlk kez Gabriele Veneziano, sicim teorisi'deki,genlik saçılması varsayımında beta fonksiyonunu kullandı.
Beta ve Gama fonksiyonları arasındaki ilişki
Beta fonksiyonunun türetilen iki faktöriyel yazılarak integral gösterimi;
Şimdi, , ,yazalım,böylece
Kutupsal koordinatlara dönüşümü , :
Dolayısıyla,beta fonksiyonunun kullanılan formu ve değişkenleri yeniden:
Diğer bir türetim,bir özel durumu için konvolüsyon integrali alınırsa
and , sonuç kolayca:
.
Türevleri
türevleri sırasıyla:
burada digama fonksiyonu'dur.
Integralleri
Nörlund-Rice integral beta fonksiyonunun kontür integral içeren şeklidir .
Yaklaşıklıklar
Asimptotik formül,Stirling yaklaşıklığı'nı verir.
x büyük y büyük ise,
diğer bir durumx büyük ve y sabit ise,
Tamamlanmamış beta fonksiyonu
Tamamlanmamış demek integralin bir sinirinin kapali(burada 0dan x'a) diğer sinirinin açik olmasi demektir. Beta fonksiyonunun bir genellemesi Tamamlanmamış beta fonksiyonu 'dur.
Tanımı
x = 1, için tamamlanmamış beta fonksiyonu ile tamamlanmış beta fonksiyonu çakışır.Bu ilişki gama fonksiyonu ve genel şekli tamamlanmamış gama fonksiyonu arasında da vardır..
düzenlenmiş,tamamlanmamış beta fonksiyonu (veya kısaca düzenlenmiş beta fonksiyonu) şeklinde tanımlanan bu iki fonksiyonun terimleri:
a ve btam sayı değerleri için bilinen integral dışında ( parçalanmış integrasyon kullanılabilir):
Binom dağılımı'nın, bir rastgele değişkeni X " başarı olasılığı" p örnekleme boyutu n olmak üzere yığılımlı yoğunluk fonksiyonu için değerlendirmede; Düzenlenmiş- tamamlanmamış beta fonksiyonu kullanılabilir ve burada :
M. Zelen and N. C. Severo. in Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See §6.2, 6.6, and 26.5)24 Mayıs 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1992. Second edition. (See section 6.4)
Arbitrarily accurate values can be obtained from The Wolfram Functions Site10 Ekim 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., Evaluate Beta Regularized Incomplete beta 14 Haziran 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
Dış bağlantılar
Cephes8 Aralık 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. - C and C++ language special functions math library