Olika ordningars Tjebysjovfilter med epsilon på 0,7 dvs ett passbandsrippel på 1,7dB. Ett Tjebysjovfilter är inom signalbehandling ett analogt (passivt eller aktivt) eller digitalt låg- eller högpassfilter. Filtret har en branthet som överstiger Butterworthfiltret vid given ordning, men uppvisar i gengäld rippel och större fasvridning i passbandet. Filtret är uppkallat efter Pafnutij Tjebysjov därför att dess matematiska karaktäristik har härletts ur Tjebysjovpolynom.
Rippel Filterparametern ϵ {\displaystyle \epsilon } är relaterad till passbandsripplet γ {\displaystyle \gamma } i decibel enligt följande
ϵ 2 = 10 γ 10 − 1 {\displaystyle \epsilon ^{2}=10^{\frac {\gamma }{10}}-1} 3dB-bandbredden f H {\displaystyle f_{H}} är relaterad till rippel-bandbredden f C {\displaystyle f_{C}} enligt:
f H = f C cosh ( 1 n arccosh 1 ϵ ) {\displaystyle f_{H}=f_{C}\cosh \left({\frac {1}{n}}\operatorname {arccosh} {\frac {1}{\epsilon }}\right)}
Beloppsfunktion Ett analogt Tjebysjovlågpassfilter har magnituden:
| H | 2 = 1 1 + ϵ 2 T n 2 ( ω ω 0 ) {\displaystyle |H|^{2}={\frac {1}{1+\epsilon ^{2}T_{n}^{2}\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)}}} där T n ( ω / ω 0 ) {\displaystyle T_{n}(\omega /\omega _{0})} är Chebyshevpolynomen definierade av
T n ( ω ω 0 ) = cos ( n ⋅ arccos ω ω 0 ) , 0 ≤ ω ω 0 ≤ 1 {\displaystyle T_{n}({\tfrac {\omega }{\omega _{0}}})=\cos(n\cdot \arccos {\tfrac {\omega }{\omega _{0}}}),\quad 0\leq {\tfrac {\omega }{\omega _{0}}}\leq 1} T n ( ω ω 0 ) = cosh ( n ⋅ arccosh ω ω 0 ) , ω ω 0 > 1 {\displaystyle T_{n}({\tfrac {\omega }{\omega _{0}}})=\cosh(n\cdot \operatorname {arccosh} {\tfrac {\omega }{\omega _{0}}}),\quad {\tfrac {\omega }{\omega _{0}}}>1}
Överföringsfunktion Ett analogt lågpassfilters överföringsfunktion kan allmänt skrivas:
H ( s ) = A 0 ( 1 + a 1 s + b 1 s 2 ) ( 1 + a 2 s + b 2 s 2 ) . . . ( 1 + a n s + b n s 2 ) = A 0 ∏ i = 1 n ( 1 + a i s + b i s 2 ) {\displaystyle H(s)={\frac {A_{0}}{(1+a_{1}s+b_{1}s^{2})(1+a_{2}s+b_{2}s^{2})...(1+a_{n}s+b_{n}s^{2})}}={\frac {A_{0}}{\prod _{i=1}^{n}(1+a_{i}s+b_{i}s^{2})}}}
där A 0 {\displaystyle A_{0}} är förstärkningen vid dc (dvs ω = 0 {\displaystyle \omega =0} ).
Vid Chebychevfilter ser de tre första ordningarnas polynom i nämnaren, för 1dB rippel i passbandet, ut som följer ( ϵ = 0.5089 {\displaystyle \epsilon =0.5089} ):
n = 1 ; s + 1.965 {\displaystyle n=1;\quad s+1.965} n = 2 ; s 2 + 1.098 s + 1.103 {\displaystyle n=2;\quad s^{2}+1.098s+1.103} n = 3 ; ( s + 0.494 ) ( s 2 + 0.494 s + 0.994 ) {\displaystyle n=3;\quad (s+0.494)(s^{2}+0.494s+0.994)}
Exempel: Aktivt analogt andra ordningens lågpassfilter Ett realiseringsexempel Kopplingen till höger realiserar ( A 0 = 1 {\displaystyle A_{0}=1} ):
H ( s ) = 1 1 + ω 0 C 1 ( R 1 + R 2 ) s + ω 0 2 R 1 R 2 C 1 C 2 s 2 {\displaystyle H(s)={\frac {1}{1+\omega _{0}C_{1}(R_{1}+R_{2})s+\omega _{0}^{2}R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}s^{2}}}}
där alltså
a 1 = ω 0 C 1 ( R 1 + R 2 ) = 1.098 / 1.103 {\displaystyle a_{1}=\omega _{0}C_{1}(R1+R2)=1.098/1.103\ }
och
b 1 = ω 0 2 R 1 R 2 C 1 C 2 = 1 / 1.103 {\displaystyle b_{1}=\omega _{0}^{2}R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}=1/1.103\ }
När man designar filtret så antar man lämpligtvis kondensatorerna och räknar sedan fram resistorerna.
Filtrets karaktäristik jw-metoden ger:
H ( j ω ) = 1 ( ( 1 − b i ω 2 ) + j a i ω ) {\displaystyle H(j\omega )={\frac {1}{((1-b_{i}\omega ^{2})+ja_{i}\omega )}}}
vars beloppsfuntion blir
| H | = 1 ( 1 − b i ω 2 ) 2 + ( a i ω ) 2 {\displaystyle |H|={\frac {1}{\sqrt {(1-b_{i}\omega ^{2})^{2}+(a_{i}\omega )^{2}}}}}
och fasfunktion
A r g ( H ) = − arctan ( a i ω 1 − b i ω 2 ) {\displaystyle Arg(H)=-\arctan \left({\frac {a_{i}\omega }{1-b_{i}\omega ^{2}}}\right)}
Om man sedan sätter ω = ω / ω 0 {\displaystyle \omega =\omega /\omega _{0}} får man en relativ uppskattning av filtrets karaktäristik.
Se även Butterworthfilter Besselfilter Bikvadratiskt filter
Källor Millman Jacob, Grabel Arvin, Microelectronics, Second Edition, 1988, Singapore Texas Instruments, Active Filter Design Techniques, Chapter 16.