Ett
-rum är ett funktionsrum inom matematik.
-rummet består av funktioner som är p-integrerbara. Man behöver
-rummet till exempel inom måtteori och funktionalanalys.
Formell definition
-rummet är en måtteoretisk konstruktion och man kan bara definiera det för måttrum.
Låt
och
vara ett måttrum så att måttet µ är ett fullständigt mått. Man behöver fullständighet här eftersom man vill integrera alla delmängder för en nollmängd.
För mätbara funktioner
definierar man
-normen
,
dvs
-normen är en p-rot av måttintegralen för funktionen
. För
definieras
-normen:
,
där ess sup är väsentligt supremum.
-normen, med
, är inte en norm för alla mätbara funktioner. Men man kan definiera ett rum där det är en norm.
-rummet, för ett fixt p, är mängden:
.
-rummet är ett vektorrum. Eftersom man har definierat
-rummet utifrån en måttstruktur så är
-normen bara en seminorm, dvs
![{\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1d3de762058656808721fc899c4b223914c6c3f)
och
![{\displaystyle \|af\|_{p}=|a|\|f\|_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/762754c8d1a5fb3c4f20352f1bc21376d587a7b9)
för
och
men det finns måttrum och funktioner där
men ![{\displaystyle f\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88725631c1c1c441d1b0db0aed0e22246f162b96)
gäller, exempelvis om man tar den vanliga måttstrukturen på de reella talen, med Borelalgebran som sigma-algebra och Lebesguemåttet som mått, då
är ett exempel på en funktion som är nollskild men har en norm som är noll. Detta visar att
-normen inte är en norm på detta rum.
För att få en riktig norm definierar man en ekvivalensrelation i
genom att
om och endast om ![{\displaystyle \|f-g\|_{p}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0ea75cdf46e262fceff930e47bf8b8a27a3a813)
och definiera
-normen för ekvivalensklasser
![{\displaystyle \|f^{\sim }\|_{p}:=\|f\|_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/563d395d77fc72402e58ba0eef7981b317fdc1f4)
där
är ekvivalensklassen med representant f:
![{\displaystyle f^{\sim }:=\{g\in {\mathcal {L}}^{p}:f\sim g\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/887adc6604b1016f060b0395f0ba9e961a55f2e4)
Kvotrummet
med
-normen kallas för
-rummet. I rummet
identifieras funktioner f och g vars skillnad f - g har en norm som är noll. Exempelvis, från exemplet ovan, identifieras
med funktionen g = 0.
-rum
Som ett specialfall av
-rum kan man få de så kallade
-rummen. Om X är uppräknelig och måttet µ är räknemåttet betecknas
,
så att för
![{\displaystyle \ell ^{p}=\left\{(x_{i})_{i=1}^{\infty }:\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{p}<\infty \right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42fca18ccb60241f58b5330bc420659bbfcb719e)
dvs,
kan ses som alla följder i X så att summan av termerna upphöjt till p konvergerar.
Man får också:
![{\displaystyle \ell ^{\infty }=\left\{(x_{i})_{i=1}^{\infty }:\sup _{i\in \mathbb {N} }|x_{i}|<\infty \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fd16d28395cf3e575a923eaac4cb1b529026b8d)
dvs,
-rummet är rummet av alla begränsade följder.
Egenskaper
Nedan finns några egenskaper för
-rummen och normerna.
Olikheter
Hölders olikhet: om
och
med
,
och
och
så är
.
Om
och
så är
.
Talen p och q kallas för Hölderkonjugat.
Minkowskis olikhet: Man kallar ofta triangelolikheten
![{\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1d3de762058656808721fc899c4b223914c6c3f)
när
för Minkowskis olikhet.
Dualrummet
Om p och q är Hölderkonjugat så är
:s dualrummet
isomorf till
, dvs
.
Därför säger man ofta att
:s dualrum är
.
Notera att det finns måttrum där
inte är isomorf med
.
Se även
Referenser
- W. Rudin, Functional analysis, McGraw-Hill, 1991
- P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950
- M. E. Munroe, Introduction to Measure and Integration, Addison Wesley, 1953
- R. M. Dudley, Real Analysis and Probability, Cambridge University Press, 2002
- G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wiley, 1984
- https://web.archive.org/web/20131111192546/https://www.doria.fi/bitstream/handle/10024/2842/avaruude.pdf?sequence=1