Bolzanos sats

Bolzanos sats eller satsen om mellanliggande värden är en matematisk sats, som ofta kan användas då man vill undersöka om en ekvation, ${\displaystyle f(x)=0\,}$, går att lösa. Det enda kravet på funktionen ${\displaystyle f\,}$ är att den skall vara kontinuerlig.

Bolzanos sats eller satsen om mellanliggande värden

Låt ${\displaystyle f:[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} }$ vara en kontinuerlig funktion på ett slutet och begränsat intervall ${\displaystyle [a,b]\subseteq \mathbb {R} }$. Antag att funktionsvärdena ${\displaystyle f(a)\,}$ och ${\displaystyle f(b)\,}$ är olika. Om ${\displaystyle c\,}$ är ett tal som ligger mellan talen ${\displaystyle f(a)\,}$ och ${\displaystyle f(b)\,}$, så finns det ett motsvarande tal, ${\displaystyle x_{c}\,}$, som ligger mellan talen ${\displaystyle a\,}$ och ${\displaystyle b\,}$ med egenskapen att

${\displaystyle c=f(x_{c})\,}$.

Användningar av Bolzanos sats

Vi är intresserade av att lösa ekvationen ${\displaystyle f(x)=0\,}$, där ${\displaystyle f\,}$ är en kontinuerlig icke-linjär funktion, exempelvis tredjegradspolynomet

${\displaystyle f(x)=x^{3}-15\,x-4.}$

Vi ser att funktionsvärdena ${\displaystyle f(3)=-22\,}$ och ${\displaystyle f(5)=46\,}$ är olika och att talet 0 (noll) ligger mellan dem.

Bolzanos sats säger att det finns minst ett tal ${\displaystyle x_{0}\,}$, som ligger mellan talen 3 och 5, som är sådant att ${\displaystyle f(x_{0})=0\,}$. Det existerar därför en lösning till ekvationen ${\displaystyle f(x)=0\,}$ och denna lösning är ett element i det slutna och begränsade intervallet [3,5].

Man kan lokalisera lösningen genom att halvera intervallet [3,5] och undersöka hur funktionsvärdet, ${\displaystyle f(4)}$, i intervallets mittpunkt förhåller sig till värdena ${\displaystyle f(3)}$ och ${\displaystyle f(5)}$ : Om ${\displaystyle f(4)\geq 0}$, så ligger lösningen till ekvationen någonstans i intervallet [3,4]. Om ${\displaystyle f(4)\leq 0}$, så ligger lösningen någonstans i intervallet [4,5]; I detta fall råkar det vara så att ${\displaystyle f(4)=0\,}$, vilket visar att ${\displaystyle x=4\,}$ är en lösning till tredjegrads-ekvationen

${\displaystyle x^{3}-15\,x-4=0.}$

Denna metod att lokalisera lösningar till ekvationer kallas Intervallhalverings-metoden.

Bevis av Bolzanos sats

Vi antar att funktionsvärdet ${\displaystyle f(a)\,}$ är mindre än ${\displaystyle f(b)\,}$ och väljer ut ett godtyckligt tal, ${\displaystyle c\,}$, som ligger mellan dessa värden:

${\displaystyle \,f(a)<c<f(b)\,.}$

Associerat med detta tal bildar vi mängden

${\displaystyle M_{c}=\{x\in [a,b]:f(x)<c\}.\,}$

(Mängden ${\displaystyle M_{c}\,}$ är icke-tom, eftersom det innehåller talet ${\displaystyle a\,}$: ${\displaystyle f(a)<c.\,}$)

Talet ${\displaystyle b\,}$ är en övre begränsning till mängden ${\displaystyle M_{c}\,}$ – Det kan finnas flera övre begränsningar. Vi betecknar med symbolen ${\displaystyle x_{c}}$ den minsta av alla möjliga övre begränsningar, det vill säga supremum över mängden ${\displaystyle M_{c}}$:

${\displaystyle x_{c}=\sup M_{c}.\,}$

(Supremum existerar eftersom paret ${\displaystyle ([a,b],<)\,}$ är en välordnad mängd.)

Vi skall visa att talet ${\displaystyle x_{c}\,}$ har den önskade egenskapen att ${\displaystyle f(x_{c})=c\,}$, genom att utesluta de två övriga möjligheterna ${\displaystyle f(x_{c})<c\,}$ och ${\displaystyle f(x_{c})>c.\,}$

Om funktionsvärdet ${\displaystyle f(x_{c})<c\,}$ så är ${\displaystyle f(z)<c\,}$ också, om talet ${\displaystyle z\,}$ ligger tillräckligt nära talet ${\displaystyle x_{c}\,}$. Anledningen till detta är att funktionen ${\displaystyle f\,}$ är kontinuerlig i punkten ${\displaystyle x_{c}\,}$.

Kontinuiteten hos funktionen ${\displaystyle f\,}$ i punkten ${\displaystyle x_{c}\,}$ innebär att talet ${\displaystyle f(z)\,}$ ligger nära talet ${\displaystyle f(x_{c})\,}$ :

${\displaystyle f(x_{c})-\varepsilon <f(z)<f(x_{c})+\varepsilon ,\,}$

om talet ${\displaystyle z\,}$ ligger tillräckligt nära talet ${\displaystyle x_{c}\,}$,

${\displaystyle x_{c}-\delta (x_{c},\varepsilon )<z<x_{c}+\delta (x_{c},\varepsilon ).\,}$

Vi har tillåtelse att välja det positiva talet ${\displaystyle \varepsilon \,}$ som vi vill. Om vi väljer det positiva talet ${\displaystyle \varepsilon =c-f(x_{c})\,}$, så ser vi att ${\displaystyle 2\,f(x_{c})-c<f(z)<c.\,}$

Det går att välja talet ${\displaystyle \delta \,}$ så litet att det öppna intervallet ${\displaystyle (x_{c}-\delta ,\,x_{c}+\delta )\,}$ helt ligger innanför det slutna intervallet ${\displaystyle [a,b]\,}$.

Det finns alltså tal ${\displaystyle z\,}$ i mängden ${\displaystyle M_{c}\,}$ med egenskapen att ${\displaystyle x_{c}-\delta <z<x_{c}+\delta \,}$. Eftersom ${\displaystyle z\,}$ ligger i mängden ${\displaystyle M_{c}\,}$, måste ${\displaystyle z\,}$ vara mindre än varje övre begränsning av ${\displaystyle M_{c}\,}$, speciellt måste ${\displaystyle z\,}$ vara mindre än den minsta övre begränsningen av ${\displaystyle M_{c}\,}$: Talet ${\displaystyle \sup M_{c}=x_{c}\,.}$ Detta innebär att vi har fått en motsägelse:

Talen ${\displaystyle z\,}$ besitter de två motstridiga egenskaperna att ${\displaystyle z\leq x_{c}\,}$ och ${\displaystyle z>x_{c}\,.}$

Vi måste därför dra slutsatsen att det inte finns sådana tal. Men vi kunde hävda att sådana tal fanns, genom att vi utgick från att funktionsvärdet ${\displaystyle f(x_{c})<c\,.}$ Därför har vi lyckats visa att olikheten ${\displaystyle f(x_{c})<c\,}$ inte gäller.

På liknande sätt som i fallet då ${\displaystyle f(x_{c})<c\,}$, visar man att olikheten ${\displaystyle f(x_{c})>c\,}$ inte gäller heller. Den enda möjligheten som återstår är att ${\displaystyle f(x_{c})=c,\,}$ vilket var vad vi ville bevisa.

Eftersom talet ${\displaystyle c\in [f(a),f(b)]\,}$ var godtyckligt valt, har vi härmed bevisat Bolzanos sats.

Källor

• Folke Eriksson, Eric Larsson och Gösta Wahde (1993). Matematisk analys med tillämpningar: Del 2