Klein–Gordonova jednadžba (Klein–Fock–Gordonova jednadžba ili ponekad Klein–Gordon–Fockova jednadžba) je relativistička verzija Schrödingerove jednadžbe. Također je kvantizirana verzija relativističke relacije energije s momentom. Rezultati jednadžbe su kvantno skalarno ili pseudoskalarno polje čiji su kvanti bez spina. Teorijski značaj jednadžbe jednak je značaju Diracove jednadžbe.[1] Elektromagnetske interakcije se mogu uvrstiti, što daje temu skalarne elektrodinamike, no kako su čestice bez spina, na primjer pi-mezoni, nestabilni i doživljavaju jake interakcije, praktična korisnost jednadžbe je ograničena.
Klein–Gordon jednadžba s parametrom mase je
Rješenja jednadžbe su kompleksne funkcije vremenske varijable i prostornih varijabli ; Laplasov operator djeluje samo na prostorne varijable.
Jednadžba se često skraćuje na
gdje su i d'Alembertovi operatori, definirani kao
(Koristi se (−, +, +, +) metrički potpis.)
Klein–Gordonova jednadžba se najčešće zapisuje u prirodnim jedinicama:
Forma je određena time da rješenja zapisana kao ravninski valovi:
poštuju relaciju energije i momenta sile specijalne teorije relativnosti:
Za razliku od Schrödingerove jednadžbe, Klein–Gordonova jednadžba priznaje dvije vrijednosti ω za svaki k, pozitivnu i negativnu. Samo razdiobom pozitivnih i negativnih dijelova frekvencije dobiva se jednadžba koja opisuje relativističku valnu funkciju. Za slučaj nezavisan o vremenu, Klein–Gordonova jednadžba postaje
te je formalno ista homogeno zapisanoj Poissonovoj jednadžbi.
Derivacija
Nerelativistička jednadžba energije slobodne čestice je
Kvantizacijom se dobiva nerelativistička Schrödingerova jednadžba slobodne čestice,