Inegalitatea lui Bernoulli

Inegalitatea lui Bernoulli, atribuită lui Jakob Bernoulli (1654 - 1705), reprezintă una din inegalitățile care stau la baza teoretică a analizei matematice.

Dacă ${\displaystyle x,r\in \mathbb {R} }$,   cu  ${\displaystyle x\geq -1}$ și   ${\displaystyle r\geq 1}$,   atunci:

${\displaystyle (1+x)^{r}\geq 1+rx}$ .

Se aplică metoda inducției complete infinite din aproape în aproape, metodă numită inducție matematică.

Pentru ${\displaystyle r=0\,}$, inegalitatea este echivalentă ${\displaystyle 1\geq 1}$  , ceea ce este evident. Acesta este cazul de pornire al metodei inducției infinite.

Presupunând că inegalitatea se verifică pentru ${\displaystyle r=n\,}$ se demonstrează valabilitatea implicației și pentru ${\displaystyle r=n+1\,}$. Acesta este pasul inductiv al metodei.

Din ${\displaystyle (1+x)^{n}\geq 1+nx}$ rezultă

${\displaystyle (1+x)(1+x)^{n}\geq (1+x)(1+nx)}$

și aceasta deoarece ${\displaystyle (1+x)\geq 0}$.

${\displaystyle \iff }$

${\displaystyle (1+x)^{n+1}\geq 1+nx+x+nx^{2}}$

${\displaystyle \iff }$ ${\displaystyle (1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x+nx^{2}}$ .

Cum însă ${\displaystyle 1+(n+1)x+nx^{2}\geq 1+(n+1)x}$

(  deoarece ${\displaystyle nx^{2}\geq 0}$  )

rezultă

${\displaystyle (1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x}$

așadar, propoziția este valabilă și pentru ${\displaystyle r=n+1\,}$

În acest caz, se va face apel la noțiunea de serie binomială care se poate aplica pentru exponenți fracționari.

• Iacob, C. - Curs de matematici superioare, București, 1957
• Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974

• en Inegalitatea la MathWorld^{[nefuncțională]}
• en Inegalitatea la PlanetMath.org^{[nefuncțională]}