Ecuația forței vii

În mecanica spațială, ecuația forței vii (în franceză L'équation de la force vive, iar în engleză Vis-viva equation) este o ecuație importantă a mișcării corpurilor pe orbită. Este rezultatul legii conservării energiei potrivit căreia suma energiilor cinetice și potențiale este constantă în orice punct al orbitei.

Ecuația forței vii^[1] este definită de:

${\displaystyle v={\sqrt {GM\left({{2 \over {r}}-{1 \over {a}}}\right)}}}$

unde:

• ${\displaystyle v\,\!}$ este viteza relativă a celor două corpuri;
• ${\displaystyle r\,\!}$ este distanța dintre cele două corpuri;
• ${\displaystyle a\,\!}$ este semiaxa majoră;
• ${\displaystyle G\,\!}$ este constanta gravitațională;
• ${\displaystyle M}$ este masa corpului central.

Notă: produsul ${\displaystyle GM}$ poate fi notat și cu litera grecească μ. Totuși, nu trebuie să se confunde această notație a ${\displaystyle GM}$ cu masa redusă μ, explicitată mai jos.

Energia orbitală totală este suma energiilor potențiale comune și a energiei cinetice a celor două corpuri considerate

${\displaystyle E={\frac {-Gm_{1}m_{2}}{r}}+{\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}}$

unde:

• ${\displaystyle v_{1}\,\!}$ este viteza corpului 1 relativă la centrul de gravitație al celor două corpuri.
• ${\displaystyle v_{2}\,\!}$ este viteza corpului 2 relativă la centrul de gravitate al celor două corpuri.

Energia orbitală poate fi calculată folosind doar cantități relative

${\displaystyle E={\frac {-G_{1}m_{2}}{r}}+\mu {\frac {v^{2}}{2}}}$

unde:

• ${\displaystyle v\,\!}$ este viteza relativă a celor două corpuri.
• ${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}\!+\!m_{2}}}}$ este masa redusă.

Pentru orbitele circulare și eliptice, energia totală este dată mai precis

${\displaystyle E={\frac {-Gm_{1}m_{2}}{2a}}}$.

Împărțirea totalului energiei prin masa redusă dă energia vis-viva, cunoscută mai ales ca energie orbitală specifică

${\displaystyle \epsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {G(m_{1}\!+\!m_{2})}{r}}}$.

Pentru orbitele circulare și eliptice

${\displaystyle \epsilon ={\frac {-G(m_{1}\!+\!m_{2})}{2a}}}$.

Din precedentele ecuații, se obține ecuația forței vii:

${\displaystyle v^{2}=G(m_{1}\!+\!m_{2})\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)}$.

Pornind de la r și v într-un punct al orbitei, este posibil să se calculezer și v în orice punct al orbitei. ^[2].

De asemenea, pornind de la r și v într-un punct al orbitei, energia orbitală specifică ${\displaystyle \epsilon \,\!}$ poate fi calculată, ceea ce permite să se determine dacă un obiect care orbitează în jurul unuia mai mare are suficientă energie pentru a rămâne pe orbită.

• E. Messerschmidt, S. Fasoulas (2000). Raumfahrtsysteme. Springer. pp. 71–86. ISBN 3-540-21037-7. 

• Forța vie

	Portal Astronomie
	Portal Fizică