Na geometria diferencial, o teorema do índice de Atiyah-Singer afirma que para um operador diferencial elíptico sobre uma variedade compacta, o índice analítico (relacionado com a dimensão do espaço de soluções) é igual ao índice topológico (definida em termos de alguns dados topológicos). Ele inclui muitos outros importantes teoremas (como o teorema de Riemann-Roch) como casos especiais, e tem aplicações em física teórica.
Foi provado por Michael Atiyah e Isadore Singer em 1963.
Índice analítico
Quando devidamente estendido a um espaço de Sobolev[1], todo operador diferencial elíptico
pode ser visto como um operador de Fredholm- ou seja, um operador contínuo com núcleo e conúcleo de dimensão finita. Assim, os espaços vetoriais
e
têm dimensão finita, e portanto podemos calcular o índice analítico do operador:
![{\displaystyle \operatorname {Ind} (D)=\dim \ker(D)-\dim \operatorname {coker} (D)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27bb41b61c31a88f03095e8430f1f5291c3d1b28)
que é um invariante topológico de operadores de Fredholm entre espaços de Hilbert (isto é, dois operadores do tipo são homotópicos em
exatamente quando têm mesmo índice).
Índice topológico
Usando invariantes topológicas conhecidas como classes características, é possível associar a um operador elíptico
o seu índice topológico, igual à expressão[2]
![{\displaystyle (-1)^{n}\operatorname {ch} (D)\operatorname {Td} (TX\otimes \mathbb {C} )[T^{*}X]=(-1)^{n}\int _{T^{*}X}\operatorname {ch} (D)\operatorname {Td} (TX\otimes \mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da814c5f94ffd082e621b8148cd3ef86684e3497)
onde
é a classe de Todd do fibrado tangente complexificado;
é igual a
, onde
é o caráter de Chern;
é o "elemento de diferença" em
associado aos fibrados
e
sobre
e o isomorfismo
entre eles no subespaço
;
é o símbolo de
.
Em algumas situações, é possível simplificar a fórmula acima para fins computacionais. Em particular, se
é uma variedade (compacta) orientável
-dimensional cuja classe de Euler
é não-nula, então aplicando o isomorfismo de Thom e dividindo pela classe de Euler[3][1], o índice topológico pode ser expresso como
![{\displaystyle (-1)^{m}\int _{X}{\frac {\operatorname {ch} (E)-\operatorname {ch} (F)}{e(TX)}}\operatorname {Td} (X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36f806873c9c7089074bc02a1c19322987877d86)
onde a divisão por formas faz sentido na medida em que fazemos o pullback de
a partir do espaço classificante
.
O teorema do índice então afirma que: o índice analítico é igual ao índice topológico.
Exemplos
Teorema de Chern-Gauss-Bonnet
Seja
uma variedade compacta orientável de dimensão
. Se
representar a soma dos produtos exteriores de grau par do fibrado cotangente, e
a soma dos de grau ímpar, defina
, considerado como uma aplicação de
a
. Então o índice analítico de
é a característica de Euler de
, e o índice analítico é a integral da classe de Euler sobre a variedade. Essa é a versão "topológica" do teorema de Chern-Gauss-Bonnet.
Mais concretamente, segundo uma variação do princípio de divisão, se
é um fibrado vetorial real de dimensão
, para provarmos fórmulas envolvendo classes características, é possível supor que existem fibrados de linha complexos
tais que
. Logo, podemos tratar das raízes de Chern
,
,
.
Usando raízes de Chern como acima e aplicando as propriedades básicas da classe de Euler, temos que
. Em relação ao caráter de Chern e à classe de Todd[4],
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ch} (\Lambda ^{even}-\Lambda ^{odd})&=1-\operatorname {ch} (T^{*}M\otimes \mathbb {C} )+\operatorname {ch} (\Lambda ^{2}T^{*}M\otimes \mathbb {C} )-...+(-1)^{n}\operatorname {ch} (\Lambda ^{n}T^{*}M\otimes \mathbb {C} )\\&=1-\sum _{i}^{n}e^{-x_{i}}(TM\otimes \mathbb {C} )+\sum _{i<j}e^{-x_{i}}e^{-x_{j}}(TM\otimes \mathbb {C} )+...+(-1)^{n}e^{-x_{1}}...e^{-x_{n}}(TM\otimes \mathbb {C} )\\&=\prod _{i}^{n}(1-e^{-x_{i}}(TM\otimes \mathbb {C} ))\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a16c45355e0d94808af03d1d38d65ae4714647eb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Td} (TM\otimes \mathbb {C} )=\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}(TM\otimes \mathbb {C} )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2f866058edaafe32e7ec0bd7b5254ed1bc50a91)
Aplicando o teorema do índice,
,
que é a versão topológica do teorema de Chern-Gauss-Bonnet (a geométrica sendo obtida ao aplicarmos o homomorfismo de Chern-Weil).
Teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch
Seja X uma variedade complexa de dimensão (também complexa)
e V um fibrado vetorial holomórfico sobre X. Se E e F forem as somas dos fibrados de formas diferenciais com coeficientes em V de tipo (0,i) com i par (no caso de E) ou ímpar (no caso de F), consideramos o operador diferencial
![{\displaystyle D={\overline {\partial }}+{\overline {\partial }}^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffbbf0e7d2d446b5665aa6a1f5d7f512ab3ceabe)
restrito a E.
Nesse caso, o índice analítico do operador é a característica de Euler holomórfica de V:
![{\displaystyle {\textrm {index}}(D)=\sum _{p}(-1)^{p}{\textrm {dim}}\,H^{p}(X,V)=\chi (X,V)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f6a30a6bf52ba7a54ad7843137d72f25ffd13c3)
Como estamos tratando de fibrados que já são compelxos, calcular o índice topológico é mais simples. Usando raízes de Chern e fazendo contas similares às do exemplo anterior, a classe de Euler é dada por
e
![{\displaystyle \operatorname {ch} (\sum _{j}^{n}(-1)^{j}V\otimes \Lambda ^{j}{\overline {T^{*}X}})=\operatorname {ch} (V)\prod _{j}^{n}(1-e^{x_{j}})(TX)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d50fb3b984026e8707150c5872d29f2f4fe3ce41)
![{\displaystyle \operatorname {Td} (TX\otimes \mathbb {C} )=\operatorname {Td} (TX)\operatorname {Td} ({\overline {TX}})=\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}\prod _{j}^{n}{\frac {-x_{j}}{1-e^{x_{j}}}}(TX)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39e3cd8f55d1fa58b41c907624b49930eae1d936)
Aplicando o teorema do índice, obtemos o teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch:
![{\displaystyle \chi (X,V)=\int _{X}\operatorname {ch} (V)\operatorname {Td} (TX)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d31fe6437c6fd79a96f86069b89dc73adbad70e)
Na verdade, obtemos uma generalização a todas as variedades complexas: a demonstração original de Hirzebruch funcionava somente para variedades projetivas.
Referências
- ↑ a b Lawson, H. Blane; Michelsohn, Marie-Louise (1989), Spin Geometry, ISBN 0-691-08542-0, Princeton University Press
- ↑ Atiyah, Michael F.; Singer, Isadore M. (1968a), «The Index of Elliptic Operators I», Annals of Mathematics, 87 (3): 484–530, JSTOR 1970715, doi:10.2307/1970715
- ↑ Shanahan, P. (1978), The Atiyah–Singer index theorem: an introduction, ISBN 978-0-387-08660-6, Lecture Notes in Mathematics, 638, Springer, CiteSeerX 10.1.1.193.9222
, doi:10.1007/BFb0068264 - ↑ Nakahara, Mikio (2003), Geometry, topology and physics, ISBN 0-7503-0606-8, Institute of Physics Publishing
Ligações externas
- Rafe Mazzeo: Teorema do índice de Atiyah-Singer: o que é, e porque devemos nos preocupar.
- Raussen, Skau, Entrevista com Atiyah, Singer, Notices AMS 2005.
- R. R. Seeley and other, Notas antigas sobre operadores pseudo-diferenciais e teoria de índices
- A. J. Wassermann, Notas sobre o Teorema do índice de Atiyah-Singer
Portal da ciência
Portal da matemática