Teorema de Lindemann–Weierstrass

Este artigo ou secção contém uma lista de referências no fim do texto, mas as suas fontes não são claras porque não são citadas no corpo do artigo, o que compromete a confiabilidade das informações. Ajude a melhorar este artigo inserindo citações no corpo do artigo. (Fevereiro de 2025)

Parte de uma série de artigos sobre:
a constante matemática π
3,1415926535897932384626433...
Utilização
Área do círculo Circunferência Uso em outras fórmulas
Propriedades
Irracionalidade Transcendência
Valor
Menor que 22/7 Aproximações Memorização
Pessoas
Arquimedes Liu Hui Tsu Ch'ung Chih Ariabata Madhava Alcaxi Ludolph van Ceulen François Viète Seki Takakazu William Jones John Machin William Shanks Srinivāsa Rāmānujan John Wrench Yasumasa Kanada
História
Cronologia Livro
Na cultura
Projeto de lei de Indiana Dia do Pi
Tópicos relacionados
Quadratura do círculo Problema de Basileia Seis noves em pi
v d e

Parte de uma série de artigos sobre a
constante matemática e
Propriedades
Logaritmo natural Função exponencial
Aplicações
Juro composto Identidade de Euler Fórmula de Euler meias-vidas crescimento e decaimento exponencial
Definir e
prova de que e é irracional representações de e Teorema de Lindemann–Weierstrass
Pessoas
John Napier Leonhard Euler
v d e

O teorema de Lindemann–Weierstrass é um resultado útil para estabelecer a transcendência de um número. Afirma que se α₁, α₂, ...,α_n são números algébricos linearmente independentes sobre o corpo dos números racionais ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, então ${\displaystyle e^{\alpha _{1}},e^{\alpha _{2}}\ldots ,e^{\alpha _{n}}}$ são algebricamente independentes sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$; ou seja, o grau de transcendência da extensão do corpo ${\displaystyle \mathbb {Q} (e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}})}$ sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ é n.

Ferdinand von Lindemann demonstrou em 1882 que e^α é transcendente para todo α algébrico não nulo, estabelecendo desta forma que π é transcendente. Karl Weierstrass demonstrou a forma mais geral deste teorema em 1885.

Este teorema, juntamente com o teorema de Gelfond-Schneider, está generalizado como a conjectura de Schanuel.

A transcendência de e e π é obtida como corolários deste teorema.

Suponhamos que α seja um número algébrico não nulo; então {α} é um conjunto linearmente independente sobre os racionais, e portanto {e^α} é um conjunto algebricamente independente; em outras palavras, e^α é transcendente. Em particular, e¹ = e é transcendente.

Provemos agora que π é transcendente. Se π fosse algébrico, 2πi também o seria (porque 2i é algébrico), e portanto, segundo o teorema de Lindemann-Weierstrass e^2πi = 1 é transcendente. Porém sabemos que 1 é racional e portanto π é necessariamente transcendente.

• Alan Baker, Transcendental Number Theory, Cambridge University Press, 1975, ISBN 0-521-39791-X. Chapter 1, Theorem 1.4.
• David Hilbert, Ueber die Transcendenz der Zahlen e und ${\displaystyle \pi }$.Mathematische Annalen 43 (1893), pp. 216–219
• F. Lindemann, Über die Zahl π, Mathematische Annalen, 20 (1882), pp. 213–225.
• Kurt Mahler, Lectures on transcendental numbers (Lecture Notes in Mathematics 546). Springer, Berlin 1976, ISBN 3-540-07986-6.
• Karl Weierstrass, Zu Lindemann‘s Abhandlung: „Über die Ludolph'sche Zahl“. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 5 (1885), pp. 1067–1085.

• Prova de irracionalidade do número de Euler

• «Demonstração do teorema de Lindemann-Weierstrass» (em inglês) 
• Weisstein, Eric W. «Hermite-Lindemann Theorem». MathWorld (em inglês) 
• Weisstein, Eric W. «Lindemann-Weierstrass Theorem». MathWorld (em inglês) 

• Portal da matemática