Teorema de Hilbert-Schmidt

Em matemática, sobretudo na análise funcional o teorema de Hilbert-Schmidt é um teorema central na caracterização de operadores lineares compactos auto-adjuntos em espaços de Hilbert.

Seja ${\displaystyle A:H\to H\,}$ um operador compacto auto-adjunto em um espaço de Hilbert ${\displaystyle H\,}$. Então, existe um base ortogonal completa ${\displaystyle \{\phi _{n}\}_{n=1}^{N}\,}$ tal que ${\displaystyle A\phi _{n}=\lambda _{n}\phi _{n}\,}$ e ${\displaystyle \lambda _{n}\to 0\,}$. Onde ${\displaystyle N\,}$ é dimensão do espaço (podendo ser finita ou infinita).

Em função deste teorema, podemos escrever a forma canônica do operador como:

${\displaystyle Ax=\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}\langle x,\phi _{n}\rangle \phi _{n}\,}$

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