Teorema da média geométrica

O teorema da altura do triângulo retângulo ou teorema da média geométrica é um resultado na geometria elementar que descreve uma relação entre os comprimentos da altura da hipotenusa em um triângulo retângulo e os dois segmentos de reta que ele cria na hipotenusa. Ele afirma que a média geométrica dos dois segmentos é igual à altura.

Teorema e aplicações

Se ${\displaystyle h}$ denota a altitude em um triângulo retângulo ${\displaystyle \Delta EP}$ e ${\displaystyle q}$ os segmentos na hipotenusa, o teorema pode ser declarado como:

${\displaystyle h={\sqrt {pq}}}$

ou em termos de áreas:

${\displaystyle h^{2}=pq}$

A última versão gera um método para quadrar um retângulo com régua e bússola, ou seja, construir um quadrado de área igual a um determinado retângulo. Para tal um retângulo com os lados ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$ indicam que a sua parte superior à esquerda vértice com ${\displaystyle D}$. Agora, estendemos o segmento ${\displaystyle q}$ para a esquerda por ${\displaystyle p}$ (usando o arco ${\displaystyle {\overset {\frown }{AE}}}$ centralizado em ${\displaystyle D}$) e desenhamos um semicírculo com os pontos finais ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ com o novo segmento ${\displaystyle p+q}$ como seu diâmetro. Em seguida, erigimos uma linha perpendicular ao diâmetro em ${\displaystyle D}$ que cruza o semicírculo em ${\displaystyle C}$. Devido ao teorema de Tales, ${\displaystyle C}$ e o diâmetro forma um triângulo retângulo com o segmento de reta ${\displaystyle {\overline {DC}}}$ como sua altitude, portanto, ${\displaystyle {\overline {DC}}}$ é o lado de um quadrado com a área do retângulo. O método também permite a construção de raízes quadradas (consulte o número construtível), já que, começando com um retângulo com largura 1, o quadrado construído terá um comprimento lateral igual à raiz quadrada do comprimento do retângulo.

O teorema pode ser usado para fornecer uma prova geométrica da desigualdade ${\displaystyle AM}$-${\displaystyle GM}$ no caso de dois números. Para os números de ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$ um constrói um meio círculo com diâmetro ${\displaystyle p+q}$. Agora a altitude representa a média geométrica e o raio a média aritmética dos dois números. Como a altitude é sempre menor ou igual ao raio, isso gera desigualdade.

Referências

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images. MAA 2011, ISBN 9780883853528, pp. 31–32 (cópia online, p. 31, no Google Livros)
• Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Elementary Geometry. AMS 2008, ISBN 9780821843475, p. 25 (cópia online, p. 25, no Google Livros)
• Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: Elementargeometrie. Springer, 2009, ISBN 9783834808561, pp. 76-77 (em alemão, cópia online, p. 76, no Google Livros)
• Euclid: Elements, livro II – prop. 14, livro VI – prop. 8, (cópia online)

Ligações externas

• Geometric Mean no Cut-the-Knot

• Portal da matemática
• Portal da geometria