Produto categorial

O produto categorial é uma generalização categorial do produto cartesiano.

Seja C uma categoria e sejam ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ dois objetos da categoria C. O produto categorial de ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ é um objeto ${\displaystyle a\times b}$, junto a dois morfismos ${\displaystyle p_{a}:a\times b\rightarrow a}$ e ${\displaystyle p_{b}:a\times b\rightarrow b}$, tal que para qualquer objeto ${\displaystyle c}$ da categoria e para quaisquer morfismos ${\displaystyle f:c\rightarrow a}$ e ${\displaystyle g:c\rightarrow b}$ existe exatamente um ${\displaystyle h:c\rightarrow a\times b}$ tal que o diagrama da figura ao lado comuta, isto é: $${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}p_{a}\circ h=f\\p_{b}\circ h=g\end{array}}\right..}$$

Os morfismos ${\displaystyle p_{a}}$ e ${\displaystyle p_{b}}$ são chamados projeções. Podemos chamar o objeto ${\displaystyle c}$ junto com as setas ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ de pré-produto.

Sendo um caso particular do limite em teoria das categorias, produtos (se existem) são únicos a menos de isomorfismo.^[1]

• O produto na categoria ${\displaystyle {\mathsf {Set}}}$ dos conjuntos coicide com o produto cartesiano usual.
• O produto na categoria ${\displaystyle {\mathsf {Top}}}$ dos espaços topológicos é o produto cartesiano com a topologia produto.^[2]

Pode-se considerar produtos para mais do que dois objetos. Seja ${\displaystyle \{a_{i}\}_{i\in I}}$ família de objetos em ${\displaystyle C}$. Um produto dessa família é um objeto ${\displaystyle \prod _{i\in I}{a_{i}}}$, junto a uma família de morfismos ${\displaystyle p_{j}:\prod _{i}{a_{i}}\to a_{j}}$, tal que, para cada outra família de morfismos ${\displaystyle \{f_{j}:c\to a_{j}\}_{j\in I}}$, há único ${\displaystyle f:c\to \prod _{i}{a_{i}}}$ com ${\displaystyle p_{j}\circ f=f_{j}}$ para cada índice ${\displaystyle j\in I}$.^[1]

• Matemática
• Ciência da computação

• Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo
• «Lâminas para um curso curto de Teoria das Categorias por Carlos Campani» (PDF) 

Referências

• RIEHL, Emily (2014). Category Theory in Context. [S.l.: s.n.] 
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
• Barr, Michael & Wells, Charles, Category Theory for Computing Science, Prentice Hall, London, UK, 1990.
• Asperti, Longo, "Categories, Types, and Structures", The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, London, England.

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