Número estranho
Na teoria dos números, um número estranho é um número natural abundante que não é semiperfeito.[1][2] Noutras palavras, a soma dos divisores próprios (divisores incluindo 1, mas não si mesmo) do número é maior que o número, mas nenhum subconjunto desses divisores soma o número em si.
Exemplos
O menor número estranho é 70. Seus divisores próprios são 1, 2, 5, 7, 10, 14 e 35; a soma deles é 74, mas nenhum subconjunto desses números soma 70. O número 12, por exemplo, é abundante, mas não é estranho, pois os divisores próprios são 1, 2, 3, 4 e 6, que somam 16; mas 2 + 4 + 6 = 12.
Os primeiros números estranhos são
- 70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, 10570, 10792, 10990, 11410, 11690, 12110, 12530, 12670, 13370, 13510, 13790, 13930, 14770, ... (sequência A006037 na OEIS).
Propriedades
Existe algum número estranho ímpar?
Existem infinitos números estranhos.[3] Por exemplo, 70p é estranho para todos os números primos p ≥ 149. De fato, o conjunto de números estranhos possui densidade assintótica positiva.[4]
Não é conhecido se existe algum número estranho ímpar. Se existir, ele deverá ser maior que 1021.[5]
Sidney Kravitz demonstrou que para um número inteiro positivo k, um número primo Q superior a 2k, e também primo maior que 2k, então é um número estranho.[6] Com esta fórmula, ele encontrou o grande número estranho
Números estranhos primitivos
Uma propriedade dos números estranhos é que se n é estranho, e p é um primo maior que a soma dos divisores σ(n), então pn também é estranho.[4] Isso leva à definição de números estranhos primitivos: números estranhos que não são múltiplos de outros números estranhos (sequência A002975 na OEIS). Entre os 1765 números estranhos menores que um milhão, há 24 números estranhos primitivos. A construção de Kravitz produz números estranhos primitivos, já que todos os números estranhos da forma 2kpq são primitivos, mas a existência de infinitos k e Q que produzem um primo R não é garantida. É conjecturado que existem infinitos números estranhos primitivos, e Melfi mostrou que a infinitude de números estranhos primitivos é uma consequência da conjectura de Cramér.[7] Números estranhos primitivos com até 16 fatores primos e 14712 dígitos foram encontrados.[8]
Referências
- ↑ Benkoski, Stan (agosto–setembro de 1972). «E2308 (in Problems and Solutions)». The American Mathematical Monthly. 79 (7): 774. JSTOR 2316276. doi:10.2307/2316276
- ↑ Richard K. Guy (2004). Unsolved Problems in Number Theory. [S.l.]: Springer-Verlag. Seção B2. ISBN 0-387-20860-7. OCLC 54611248
- ↑ Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag. pp. 113–114. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300
- ↑ a b Benkoski, Stan; Erdős, Paul (abril de 1974). «On Weird and Pseudoperfect Numbers». Mathematics of Computation. 28 (126): 617–623. JSTOR 2005938. MR 347726. Zbl 0279.10005. doi:10.2307/2005938
- ↑ Sloane, N. J. A. (ed.). «Sequência A006037 (Weird numbers: abundant (A005101) but not pseudoperfect (A005835))». On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (em inglês). OEIS Foundation — comentários sobre números estranhos ímpares
- ↑ Kravitz, Sidney (1976). «A search for large weird numbers». Baywood Publishing. Journal of Recreational Mathematics. 9 (2): 82–85. Zbl 0365.10003
- ↑ Melfi, Giuseppe (2015). «On the conditional infiniteness of primitive weird numbers». Elsevier. Journal of Number Theory. 147: 508–514. doi:10.1016/j.jnt.2014.07.024
- ↑ Amato, Gianluca; Hasler, Maximilian; Melfi, Giuseppe; Parton, Maurizio (2019). «Primitive abundant and weird numbers with many prime factors». Elsevier. Journal of Number Theory. 201: 436–459. arXiv:1802.07178
. doi:10.1016/j.jnt.2019.02.027
- Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «Weird number», especificamente desta versão.
Ligações externas
- Weisstein, Eric W. «Weird number». MathWorld (em inglês)