Em matemática, existem diversas identidades logarítmicas.
Identidades algébricas ou leis
Usando operações simples
Logaritmos podem ser usados para realizar-se cálculos mais facilmente. Por exemplo, dois números podem ser multiplicados apenas usando-se uma tábua de logaritmos e adição.
Operações simples com logaritmos
Tipo de operação | identidade | Justificativa | Observação |
Produto | | | |
Divisão | | | . Por exemplo, , o que não é igual a |
Exponenciação | | | . Por exemplo, , o que não é igual a |
Radiciação | | | |
Exponenciação | | | |
Produto e exponenciação | | | |
Onde e são números reais positivos e Tanto quanto são números reais.
Identidades triviais
| porque | |
| porque | |
Note-se que é indefinido porque não existe qualquer número tal que De fato, existe uma assímptota vertical no gráfico de quando
Cancelando exponenciais
Logaritmos e exponenciais (antilogaritmos) com a mesma base cancelam-se um ao outro. Isto é verdadeiro porque logaritmos e exponenciais são operações inversas (assim como multiplicação e divisão).
| porque | |
| porque | |
Mudança de base
Esta identidade é necessária para obter-se logaritmos em calculadoras. Por exemplo, a maioria das calculadoras tem teclas para ln e para log10, mas não para log2. Para encontrar-se log2(3), deve-se calcular log10(3) / log10(2) (ou ln(3)/ln(2), os quais resultam o mesmo resultado).
Demonstração
- Considerando-se
- Então
- Tomando-se em ambos os lados:
- Simplificando e resolvendo para
- Dado que então
Esta fórmula tem algumas consequências:
onde é qualquer permutação dos subscritos 1, …, n. Por exemplo
Soma/subtração
A seguinte regra de soma/subtração é especialmente útil em teoria da probabilidade quando se trata de uma soma de log-probabilidades:
a qual resulta nos casos especiais:
Note-se que na prática e tem que ser ligados no lado direito das equações se Observe-se também que a identidade de subtração não está definida se uma vez que o logaritmo de zero não é definido.
Mais genericamente:
onde
Identidades do cálculo
O último limite é muitas vezes resumido como "logaritmos crescem mais lentamente do que qualquer potência ou raiz de x".
Derivadas de funções logarítmicas
Definição integral
Integrais de funções logarítmicas
Para lembrar integrais mais altas, é conveniente definir:
Então,
Aproximando grandes números
As identidades de logaritmos pode ser usadas para aproximar grandes números. Note-se que logb(a) + logb(c) = logb(a*c), onde a, b, e c são constantes arbitrárias. Supondo-se que quer se aproximat o 44° primo de Mersenne, 232.582.657 - 1. Para obter-se o logaritmo de base 10, nós devemos miultiplicar 32.582.657 por log10(2), tomando 9.808.357,09543 = 9.808.357 + 0,09543. Podemos então tomar 109.808.357 * 100,09543 ≈ 1,25 * 109.808.357.
Similarmente, fatoriais podem ser aproximados por somar-se os logaritmos dos termos.
Identidades logarítmicas complexas
O logaritmo complexo é o análogo em números complexos da função logaritmo. Nenhuma função no plano complexo pode satisfazer as regras normais para logaritmos. Entretanto uma função multivalorada pode ser definida a qual satisfaça a maioria das identidades. É comum considerar-se esta como uma função definida em um superfície de Riemann. A única versão valorada chamada valor principal do logaritmo pode ser definida a qual é descontínua no eixo x negativo e é igual a versão de vários valores em um único ramo de corte
Definições
A convenção usada aqui será que a primeira letra em maiúscula é usada para o valor principal das funções e a versão minúscula refere-se à função de valor multivalorada. A única versão valorada de definições e identidades é sempre dada primeiro, seguida por uma seção separada para as várias versões valoradas.
- ln(r) é o padrão logaritmo natural do número real r.
- Log(z) é o valor principal da função logaritmo complexo e tem parte imaginária no intervalo (-π, π].
- Arg(z) é o valor principal da função arg, seu valor é restrito a (-π, π]. Pode ser computado usando-se Arg(x+iy)= atan2(y, x).
A versão valorada múltipla de log(z) é um conjunto, mas é mais fácil escrevê-lo sem barras e usá-lo em fórmulas seguindo regras óbvias.
- log(z) é o conjunto dos números complexos v os quais satisfazem ev = z
- arg(z) é o conjunto dos valores possíveis da função arg aplicada a z.
Quando k é qualquer inteiro:
Constantes
Principais formas de valoração:
Formas de valoração múltipla, para qualquer k inteiro:
Soma
Principais formas de valoração:
Formas de valoração múltipla:
Potências
Um potência complexa de um número complexo pode ter muitos valores possíveis.
Principais formas de valoração:
Formas de valoração múltipla:
Onde k1, k2 são quaisquer inteiros:
Referências