Em cálculo estocástico, a exponencial de Doléans–Dade, exponencial de Doléans ou exponencial estocástica de um semimartingale é definida como a solução da equação diferencial estocástica com condição inicial . O conceito recebe este nome em homenagem à matemática franco-americana Catherine Doléans–Dade. É às vezes denotada como .[1]
Definição
No caso em que é diferenciável, então, é dado pela equação diferencial , para a qual a solução é . Alternativamente, se para um movimento browniano , então, a exponencial de Doléans–Dade é um movimento browniano geométrico. Para qualquer semimartingale contínuo , aplicando o lema de Itō com , tem-se que:
A exponenciação dá a solução:
Isto difere do que pode ser esperado por comparação com o caso em que é diferenciável devido à existência do termo de variação quadrática na solução.
A exponencial de Doléans–Dade é útil no caso em que é um martingale local. Então, também será um martingale local, enquanto a exponencial normal não é. Isto é usado no teorema de Girsanov. Os critérios para que um martingale local contínuo garanta que sua exponencial estocástica seja de fato um martingale são dados pelas condições de Kazamaki, Novikov e Beneš.
É possível aplicar o lema de Itō para semimartingales não contínuos de forma semelhante para mostrar que a exponencial de Doléans–Dade de qualquer semimartingale é:
em que o produto se estende sobre os (muitos) saltos (contáveis) de até o tempo .[2]
Referências
- ↑ Larsson, Martin; Ruf, Johannes (20 de fevereiro de 2017). «Notes on the Stochastic Exponential and Logarithm∗» (PDF). Consultado em 2 de outubro de 2017
- ↑ E., Protter, Philip (2004). Stochastic integration and differential equations 2nd ed. Berlin: Springer. ISBN 3540003134. OCLC 52943083
| Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o. |
|
---|
Tempo discreto | |
---|
Tempo contínuo | |
---|
Ambos | |
---|
Campos e outros | |
---|
Modelos de série temporal | |
---|
Modelos financeiros | - Black–Derman–Toy
- Black–Karasinski
- Chen
- Cox–Ingersoll–Ross (CIR)
- Garman–Kohlhagen
- Heath–Jarrow–Morton (HJM)
- Heston
- Ho–Lee
- Hull–White
- LIBOR market
- Rendleman–Bartter
- SABR volatility
- Vašíček
- Wilkie
|
---|
Modelos atuariais | - Bühlmann
- Cramér–Lundberg
- Sparre–Anderson
|
---|
Modelos de filas | |
---|
Propriedades | |
---|
Teoremas limites | |
---|
Desigualdades | |
---|
Ferramentas | |
---|
Disciplinas | |
---|
- Categoria:Processos estocásticos
|
- Portal da matemática