Espaços de Sobolev

Os espaços de Sobolev são definidos sobre domínio arbitrário ${\displaystyle \Omega \in \mathbb {R} ^{N}}$ e são subespaços vetoriais dos espaços ${\displaystyle L^{p}(\Omega ).}$

Defina o funcional ${\displaystyle \|\cdot \|_{{W}^{m,p}},}$ onde ${\displaystyle m}$ é um inteiro não negativo e ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty ,}$ como

${\displaystyle \|u\|_{W^{m,p}}=\left(\sum _{0\leq |\alpha |\leq m}\|D^{\alpha }u\|_{L^{p}}^{p}\right)^{1/p}{\mbox{ se }}1\leq p<\infty ,(*)}$

${\displaystyle \|u\|_{W^{m,\infty }}=\max _{0\leq |\alpha |\leq m}\|D^{\alpha }u\|_{L^{\infty }}(**)}$

para qualquer função ${\displaystyle u}$ tal que o lado direito (das igualdades acima) faça sentido. Claramente uma das igualdades acima definem uma norma no espaço vetorial de funções nas quais o lado direito assume valores finitos.

Definimos

${\displaystyle W^{m,p}(\Omega )\equiv \{u\in L^{p}(\Omega );~D^{\alpha }u\in L^{p}(\Omega ){\mbox{ para }}0\leq |\alpha |\leq m,{\mbox{ onde }}D^{\alpha }u{\mbox{ é a derivada}}{\mbox{ no sentido das distribuições de }}u\},}$ e

${\displaystyle W_{0}^{m,p}(\Omega )\equiv {\mbox{ o fecho de }}C_{0}^{\infty }(\Omega ){\mbox{ no espaço }}W^{m,p}(\Omega ).}$ Estes espaços, munidos com a norma (*), (**) são chamados espaços de Sobolev sobre ${\displaystyle \Omega .}$