Equação do quarto grau

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Em matemática, uma equação do quarto grau ou equação quártica é uma equação polinomial monovariável de grau quatro. A forma geral de uma equação do quarto grau é dada por:$${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,}$$em que os coeficientes ${\displaystyle a\neq 0}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$ e ${\displaystyle e}$ são elementos de um corpo, geralmente o dos números reais ou complexos.

$${\displaystyle x^{4}+2x^{3}-13x^{2}-14x+24=0}$$$${\displaystyle x^{4}-1=0}$$$${\displaystyle x^{4}-5x^{2}+6=0}$$

O teorema fundamental da álgebra garante que uma equação quártica sempre terá quatro soluções (raízes), simples ou múltiplas, no conjunto dos números complexos.

Uma equação biquadrática é uma equação do quarto grau que, quando reduzida, é apresentada da seguinte forma:$${\displaystyle px^{4}+qx^{2}+r=0.}$$Como ${\displaystyle p\neq 0}$, esta equação pode ser reduzida a uma equação do segundo grau através da mudança de variáveis ${\displaystyle y=x^{2}}$, de modo que$${\displaystyle py^{2}+qy+r=0.}$$Os valores de ${\displaystyle y}$ que satisfazem esta equação são dados pela fórmula: ${\displaystyle y={\frac {-q\pm {\sqrt {q^{2}-4pr}}}{2p}}.}$ Logo, ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {\frac {-q+{\sqrt {q^{2}-4pr}}}{2p}}}}$ e ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {\frac {-q-{\sqrt {q^{2}-4pr}}}{2p}}}}$.

Toda equação do 4° grau que, na forma reduzida ${\displaystyle \left(x^{4}+ax^{2}+bx+c=0\right),}$ apresente coeficientes nulos, será um produto notável com as raízes em ${\displaystyle x=-{\dfrac {b}{4a}}.}$

• Exemplo: ${\displaystyle x^{4}-4x^{3}+6x^{2}-4x+1=0}$ quando reduzido fica na forma ${\displaystyle z^{4}=0,}$ logo ${\displaystyle x=-{\dfrac {b}{4a}}}$ ou ${\displaystyle x=1.}$

Formula de Wilson x⁴=y²

As soluções podem ser encontradas usando o método de Ferrari desenvolvido pelo matemático italiano Lodovico Ferrari. Ferrari resolveu uma equação que, em linguagem moderna, pode ser escrita como:$${\displaystyle x^{4}+px^{2}+q=rx}$$Nota-se que a equação geral ${\displaystyle az^{4}+bz^{3}+cz^{2}+dz+e=0}$ pode ser reduzida a este caso através da transformação ${\displaystyle z=x-{\frac {b}{4a}},}$ e dividindo a equação resultante por ${\displaystyle a}$.

Ao dividirmos a equação por ${\displaystyle a}$, a equação terá a forma ${\displaystyle z^{4}+Az^{3}+Bz^{2}+Cz+D=0}$, onde ${\displaystyle A={\frac {b}{a}}}$, ${\displaystyle B={\frac {c}{a}}}$, ${\displaystyle C={\frac {d}{a}}}$ e ${\displaystyle D={\frac {e}{a}}}$^[1]. Ao realizar a substituição ${\displaystyle z=x-{\frac {B}{4}}}$ a equação assumirá a forma reduzida ${\displaystyle x^{4}+px^{2}+q=rx}$, onde^[1]

${\displaystyle p=B-{\frac {3}{8}}A^{2}}$

${\displaystyle r=-{\frac {1}{8}}A^{3}+{\frac {1}{2}}AB-C}$

${\displaystyle q=-{\frac {3}{256}}A^{4}+{\frac {1}{16}}A^{2}B-{\frac {1}{4}}AC+D}$

A partir daqui, o método consiste em transformar a equação em uma diferença de quadrados tal qual ${\displaystyle (x^{2}+A)^{2}-(Bx+C)^{2}=0,}$ cuja solução pode ser obtida através dos métodos de resolução de equações do segundo grau.

No primeiro passo, o primeiro membro da equação, ${\displaystyle x^{4}+px^{2}+q,}$ é transformado no quadrado baseado em ${\displaystyle x^{4}+q,}$ ou seja, ${\displaystyle x^{4}+2{\sqrt {q}}x^{2}+q:}$$${\displaystyle x^{4}+q=rx-px^{2}}$$$${\displaystyle x^{4}+2{\sqrt {q}}x^{2}+q=(2{\sqrt {q}}-p)x^{2}+rx}$$$${\displaystyle (x^{2}+{\sqrt {q}})^{2}=rx+\left(2{\sqrt {q}}-p\right)x^{2}}$$Em seguida, somam-se termos em uma nova variável ${\displaystyle y,}$ porém de forma a que o primeiro membro não deixe de ser um quadrado. Para isto, além de somar ${\displaystyle y^{2},}$ devemos somar também ${\displaystyle 2y\cdot (x^{2}+{\sqrt {q}}),}$ ou seja:$${\displaystyle (x^{2}+{\sqrt {q}})^{2}+2y\cdot (x^{2}+{\sqrt {q}})+y^{2}=rx+\left(2{\sqrt {q}}-p\right)x^{2}+2y\cdot (x^{2}+{\sqrt {q}})+y^{2}}$$Reescrevendo:$${\displaystyle (x^{2}+{\sqrt {q}}+y)^{2}=(2{\sqrt {q}}-p+2y)x^{2}+rx+2y{\sqrt {q}}+y^{2}}$$O segundo membro da equação pode ser reescrito como ${\displaystyle (2{\sqrt {q}}-p+2y)\cdot (x-x_{+})\cdot (x-x_{-}),}$ onde ${\displaystyle x_{+}}$ e ${\displaystyle x_{-}}$ são soluções da equação quadrática

${\displaystyle (2{\sqrt {q}}-p+2y)x^{2}+rx+2y{\sqrt {q}}+y^{2}=0,}$ ou seja, ${\displaystyle x={\dfrac {-r\pm {\sqrt {r^{2}-4\cdot (2{\sqrt {q}}-p+2y)\cdot (2y{\sqrt {q}}+y^{2})}}}{2\cdot (2{\sqrt {q}}-p+2y)}}}$

Para que a equação se torne uma diferença de quadrados, é necessário que ${\displaystyle (2{\sqrt {q}}-p+2y)\cdot (x-x_{+})\cdot (x-x_{-})}$ seja um quadrado, então escreveremos que ${\displaystyle x_{+}=x_{-},}$ que necessita que a raiz quadrada na fórmula seja nula.

Em outras palavras, isto requer:$${\displaystyle r^{2}-4\cdot (2{\sqrt {q}}-p+2y)\cdot (2y{\sqrt {q}}+y^{2})=0}$$que, expandido, gera a equação do terceiro grau auxiliar:$${\displaystyle 8y^{3}+(24{\sqrt {q}}-4p)y^{2}+(16q-8p{\sqrt {q}})y-r^{2}=0,}$$onde apenas uma raiz ${\displaystyle y_{1}}$ é necessária (recomenda-se utilizar uma raiz real). Quando ${\displaystyle r\neq 0}$, a equação sempre irá possuir uma raiz real positiva^[1].

Retomando o cálculo da incógnita ${\displaystyle x,}$ temos que ${\displaystyle x_{+}=x_{-}=-{\dfrac {r}{2\cdot (2{\sqrt {q}}-p+2y)}}}$

Com isso a equação ${\displaystyle (x^{2}+{\sqrt {q}}+y)^{2}=\left(2{\sqrt {q}}-p+2y\right)\cdot \left(x+{\dfrac {r}{2\cdot \left(2{\sqrt {q}}-p+2y\right)}}\right)^{2},}$ pode ser reescrita como ${\displaystyle (x^{2}+{\sqrt {q}}+y)^{2}-\left({\sqrt {2{\sqrt {q}}-p+2y}}\right)^{2}\cdot \left(x+{\dfrac {r}{2\cdot \left(2{\sqrt {q}}-p+2y\right)}}\right)^{2}=0,}$ ou ${\displaystyle (x^{2}+{\sqrt {q}}+y)^{2}-\left(x{\sqrt {2{\sqrt {q}}-p+2y}}+{\dfrac {r}{\sqrt {8{\sqrt {q}}-4p+8y}}}\right)^{2}=0}$

que resulta em uma diferença de dois quadrados:

${\displaystyle x^{2}+{\sqrt {q}}+y\pm \left(x{\sqrt {2{\sqrt {q}}-p+2y}}+{\dfrac {r}{\sqrt {8{\sqrt {q}}-4p+8y}}}\right)=0}$

Que gera duas equações quadráticas que podem ser resolvidas pelos métodos de resolução de equações de segundo grau nas equações seguintes:

${\displaystyle x^{2}+x{\sqrt {2{\sqrt {q}}-p+2y}}+{\sqrt {q}}+y+{\dfrac {r}{\sqrt {8{\sqrt {q}}-4p+8y}}}=0}$

${\displaystyle x^{2}-x{\sqrt {2{\sqrt {q}}-p+2y}}+{\sqrt {q}}+y-{\dfrac {r}{\sqrt {8{\sqrt {q}}-4p+8y}}}=0}$

Nos polinômios do quarto grau podemos relacionar seus coeficientes com as suas raízes através das relações de Girard.

Sabemos que um polinômio da forma $${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,}$$possuem no máximo 4 raízes. Sejam x₁, x₂, x₃ e x₄ as raízes desse polinômio.

Pelas relações de Girard temos que:

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = – b/a

x₁ * x₂ + x₁ * x₃ + x₁ * x₄ + x₂ * x₃ + x₂ * x₄ + x₃ * x₄ = c/a

x₁ * x₂ * x₃ + x₁ * x₂ * x₄ + x₁ * x₃ * x₄ + x₂ * x₃ * x₄ = – d/a

x₁ * x₂ * x₃ * x₄ = e/a^[2]

• Equação polinomial

Referências

• Calculadora de equações do quarto grau

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