Desigualdade de Bernoulli
Em matemática, a desigualdade de Bernoulli afirma que o polinômio real , elevado ao número inteiro não negativo , é maior ou igual à soma de com o produto de e , quando é maior que [1][2] . Essa desigualdade pode ser utilizada em problemas relacionados à análise combinatória [3].
Enunciados
A desigualdade de Bernoulli afirma que:
- , sempre que e é um número inteiro não negativo[2].
Esta desigualdade pode ser generalizada considerando-se o caso em que é um real maior ou igual a .[nota 1]
Demonstração
Esta desigualdade pode ser provada por indução matemática, como se segue[2]. Certamente
- .
Multiplicando-se ambos os lados da hipótese de indução
por (que é um termo positivo uma vez que ) obtém-se
- .
O termo é positivo e, portanto,
- .
Assim, como , o resultado vale para todo inteiro .
Demonstração do caso geral
Considere um número real maior ou igual a e defina a função auxiliar por
- ,
de modo que basta mostrar que quando .
Tomando a derivada em , tem-se
- ,
ou seja,
- ,
o que mostra que é crescente para e decrescente no intervalo [4] . Portanto, admite um mínimo global no ponto , onde é nula. Assim concluí-se que
- ,
o que completa a demonstração.
Notas
- ↑ No caso em que é um número real qualquer e é um número real maior ou igual a , tem-se o seguinte resultado: se , então ; mas, se ou então [3].
Referências
- ↑ LIMA, LIMA, Elon Lages (2004). Análise Real. [S.l.]: Impa
- ↑ a b c Ávila, Geraldo (1995). Introdução à Análise Matemática. [S.l.]: Edgard Blücher. ISBN 8521201680
- ↑ a b Silva, Pedro Costa da (2019). As desigualdades elementares e suas aplicações (PDF) (Tese). Natal: Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Consultado em 5 de novembro de 2019
- ↑ Stewart, James (2009). Cálculo: volume 1. [S.l.]: Cengage Learning. ISBN 9788522106608
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