Curva de perseguição

Na matemática, curva de perseguição é a curva que descreve a trajetória de um ponto, o perseguidor, que se move em direção a outro, o perseguido. A curva descrita por esse último é definida como curva de fuga, podendo ser uma reta, no caso mais simples. Foi estudada pelo matemático francês Pierre Bouguer, em 1732. Contudo, o termo 'curva de perseguição' foi definido pelo matemático George Boole em 1859 no livro Treatise on Differential Equations (pág 246) ^[1] .

Duas condições devem ser especificadas para definir uma Curva de Perseguição:

1. O perseguidor move-se apontando sempre diretamente para o perseguido;
2. A velocidade do perseguidor é diretamente proporcional à do perseguido.

Exemplos clássicos para modelar a Curva são o de um gato caçando um rato, uma raposa perseguindo um coelho, ou a trajetória de um míssil teleguiado perseguindo o alvo.

Sejam ${\displaystyle x,y}$ as coordenadas de um ponto perseguidor, e ${\displaystyle x',y'}$ as coordenadas simultâneas do ponto perseguido. Seja a equação do caminho dado

${\displaystyle f(x',y')=0\quad (1)}$

Note que o ponto perseguido é sempre tangente ao caminho dado pelo ponto perseguidor, cujas coordenadas satisfazem a equação da tangente.Então:
${\displaystyle y'-y={\frac {dy}{dx}}\left(x'-x\right)\quad (2)}$
Por fim, sendo as velocidades dos dois pontos uniformes, o arco correspondente será obtido pela razão constante entre as velocidades com os quais eles. Então, se a velocidade do ponto perseguidor estiver para o ponto perseguido com ${\displaystyle n:1}$, teremos:

${\displaystyle n\times {\sqrt[{}]{(dx'^{2}+dy'^{2})}}={\sqrt[{}]{(dx^{2}+dy^{2})}}}$ ,

ou, tomando x como uma variável independente,

${\displaystyle n\times {\sqrt[{}]{\left({\frac {dx'}{dx}}\right)^{2}+\left({\frac {dy'}{dx}}\right)^{2}}}={\sqrt[{}]{\left(1+{\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\quad (3)}$

O sinal a ser dado em cada radical pode ser positivo ou negativo, de acordo com a tendência do movimento crescer ou diminuir no arco correspondente.

De ${\displaystyle (2)}$ e ${\displaystyle (3)}$ , quando a forma da função ${\displaystyle f(x',y')}$ é determinada, ${\displaystyle x'}$ e ${\displaystyle y'}$ podem ser encontrados em termos de ${\displaystyle x,y}$ e ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$ , e esses valores nos permitem reduzir ${\displaystyle (1)}$ para uma equação entre ${\displaystyle x,y,{\frac {dy}{dx}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}$. Resta apenas resolver esta equação diferencial de segunda ordem. Se os sinais dos radicais são ambos mudados, o movimento em cada curva é simplesmente invertido, e a curva de perseguição torna-se uma curva de fuga. Mas a equação diferencial permanece inalterada, bem como a forma da curva, apenas com suas relações invertidas.

Uma partícula que parte de um ponto do eixo das abcissas, a uma distância ${\displaystyle a}$ da origem, e move-se uniformemente em uma direção vertical paralela ao eixo das ordenadas, é perseguido por uma partícula que parte simultaneamente da origem cuja velocidade é de razão ${\displaystyle n:1}$. Queremos saber o caminho do perseguidor.^[2]

A equação do caminho da primeira partícula dado por ${\displaystyle x'=a}$, por ${\displaystyle (2)}$ , é

${\displaystyle y'-y={\frac {dy}{dx}}(a-x)}$ ,

então,

${\displaystyle y'=y+{\frac {dy}{dx}}(a-x)}$ .

Assim nós temos que

${\displaystyle {\frac {dy'}{dx}}=0,\quad {\frac {dy'}{dx}}=(a-x){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},}$

e a equação diferencial, sendo ambos radicais positivos, é

${\displaystyle n(a-x){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\sqrt[{}]{1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\quad (a)}$.

Então,

${\displaystyle {\frac {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\sqrt[{}]{1+({\frac {dy}{dx}})^{2}}}}={\frac {1}{n(a-x)}}}$.

Multiplicando por ${\displaystyle dx}$ e integrando

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+{\sqrt[{}]{1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}=c(a-x)^{1/n}}$

Logo,

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}\left(c(a-x)^{1/n}-{\frac {1}{c}}(a-x)^{1/n}\right)}$

Disso, se ${\displaystyle n}$ não for igual a ${\displaystyle 1}$ ,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {c(a-x)^{1-{\frac {1}{n}}}}{{\frac {1}{n}}-1}}+{\frac {1}{c}}{\frac {(a-x)^{1+{\frac {1}{n}}}}{1+{\frac {1}{n}}}}\right)+c'\quad (b)}$

mas se ${\displaystyle n}$ for igual a ${\displaystyle 1}$, teremos, ao substituir ${\displaystyle C}$ por ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{c}}-c\right),}$

disso,

${\displaystyle y={\frac {C(x-a)^{2}}{2}}+c'\quad (c)}$

que é representado por uma parábola.

No problema do rato, cada ponto parte dos vértices de um polígono regular e faz simultaneamente o papel de perseguidor e perseguido, caçando o ponto mais próximo a esquerda, seguindo em sentido horário. Observa-se que a curva traçada por cada ponto é uma espiral logarítmica, e ligando-os em períodos regulares de tempo temos um efeito redemoinho ^{[3] [4]} de polígonos proporcionais ao original.

Referências

(Em Português) Aplicação de Problemas e Curvas de perseguição no Ensino Médio

(Em inglês)https://web.archive.org/web/20130717202603/http://www.hsu.edu/uploadedFiles/Faculty/Academic_Forum/2006-7/2006-7AFPursuit.pdf

(Em inglês)http://mathworld.wolfram.com/PursuitCurve.html
(Em alemão)http://did.mat.uni-bayreuth.de/~susanne/verfolgung/Hundekurven.html