Este artigo utiliza notação matemática técnica para logaritmos. Todas as instâncias de log(x) sem uma base subscrita devem ser interpretadas como um logaritmo natural, usualmente denotado como ln(x) ou loge(x).
A constante de Euler-Mascheroni (também chamada de constante de Euler) é uma constante matemática, geralmente denotada pela letra grega gama (γ) , com múltiplas utilizações em Teoria dos números. Ela é definida como o limite da diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural, denotado aqui por log:
Aqui, ⌊·⌋ representa a função piso.
O valor numérico da constante de Euler-Mascheroni, com 50 casas após a vírgula, é:[1]
A constante foi definida pela primeira vez pelo matemáticosuíço Leonhard Euler no artigo De Progressionibus harmonicus observationes, publicado em 1735. Euler usou a notação C para a constante, e inicialmente calculou seu valor até 6 casas decimais. Em 1761 Euler estendeu seus cálculos, publicando um valor com 16 casas decimais. Em 1790 o matemático italiano Lorenzo Mascheroni introduziu a notação γ para a constante, e tentou estender o cálculo de Euler ainda mais, a 32 casas decimais, apesar de cálculos subseqüentes terem mostrado que ele cometera erros na 20°, 22° e 32 casas decimais. (Do 20° dígito, Mascheroni calculou 1811209008239.)
Não se sabe se a constante de Euler-Mascheroni é ou não um número racional. No entanto, análises mostram que se γ for racional, seu denominador tem mais do que 10242080 dígitos (Havil, page 97).
Convergência
Como podemos escrever:
Como
Mostremos que a série converge uniformemente, para tal usamos a estimativa:
O número não foi provado que seja algébrico ou transcendente, e , nem sequer se conhece se é irracional ou não.[2] A análise de frações contínuas revela que se é racional, seu denominador deve ser da ordem de .[3] Devido ao fato de estar presente em um grande número de equações e relações, a racionalidade ou irracionalidade de está os problemas abertos mais importantes da Matemática.
A seguir estão apresentadas as relações mais importantes de com funções, séries e integrais.
Representação Original (Euler)
Foi descoberta em 1734, por Euler, representando como uma série infinita da seguinte forma:
Relação com a Função Gama
Se tomarmos a função gama, derivando-a e analisando-a em 1, obtemos -. O mesmo comportamento é observado se analisarmos a função digama em 1, ou seja:
também como o limite:
O limite relacionado com a função beta ( expressa em termos da função gama) é:
e como função beta:
Relação com a Função Zeta de Riemann
pode ser expresso por uma soma infinita, cujos termos envolvem a Função Zeta de Riemann para números positivos da seguinte forma:
Outras séries relacionadas com a função zeta são:
O termo erro na última equação está decrescendo rapidamente em função de n . Como resultado, a fórmula se mostra bastante eficiente para cálculo de grande quantidade de dígitos da constante com extrema precisão.
Outro limite interessante relacionado com a Constante de Euler-Mascheroni e a função zeta é o limite assimétrico:
↑Krämer, Stefan. «Euler's Constant γ=0.577... Its Mathematics and History»
Euler, Leonhard, De progressionibus harmonicis observationes. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 7, 1740, pp. 150–161. Reprinted in Opera Omnia: Series 1, Volume 14, pp. 87 – 100
Borwein, Jonathan M., David M. Bradley, Richard E. Crandall (2000). Computational. «Strategies for the Riemann Zeta Function» (PDF). Journal of Computational and Applied Mathematics. 121. p.11 !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link) Derives γ as sums over Riemann zeta functions. (en inglés)
Havil, Julian (2003). Gamma: Exploring Euler's Constant. [S.l.]: Princeton University Press. ISBN 0-691-09983-9 (en inglés)
Donald Knuth (1997) The Art of Computer Programming, Vol. 1, 3rd ed. Addison-Wesley. ISBN 0-201-89683-4 (en inglés)
Krämer, Stefan (2005) Die Eulersche Konstante γ und verwandte Zahlen. Diplomarbeit, Universität Göttingen. (alemán)
Sondow, Jonathan (1998) "An antisymmetric formula for Euler's constant," Mathematics Magazine 71: 219-220. (en inglés)
------ (2002) Gourdon, Xavier, and Sebah, P."Collection of formulas for Euler's constant, γ." (en inglés)
------ (2002) "A hypergeometric approach, via linear forms involving logarithms, to irrationality criteria for Euler's constant." With an Appendix by Sergey Zlobin. (en inglés)
------ (2003) "An infinite product for eγ via hypergeometric formulas for Euler's constant, γ." (en inglés)
------ (2003a) ""Criteria for irrationality of Euler's constant," Proceedings of the American Mathematical Society 131: 3335-3344. (en inglés)
------ (2005) "Double integrals for Euler's constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas's formula," American Mathematical Monthly 112: 61-65. (en inglés)
------ (2005) "New Vacca-type rational series for Euler's constant and its 'alternating' analog ln 4/π." (en inglés)
------ and Wadim Zudilin (2006), "Euler's constant, q-logarithms, and formulas of Ramanujan and Gosper," Ramanujan Journal 12: 225-244.
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