Classe de Todd

Classe de Todd é uma construção matemática baseada a partir da teoria de topologia algébrica em classes características. Ela desempenha um papel importante na generalização do clássico teorema de Grothendieck–Riemann–Roch, formulado para descrever dimensões gigantes.

Para definir a classe de Todd td(E), onde E é um conjunto complexo de vetores em um espaço topológico X, geralmente é possível limitar sua definição através da classe de Chern e do fibrado vetorial em topologia diferencial. De maneira geral, o coeficiente xn, em que Q(x) = 1, representa os números de Bernoulli.[1]

Q ( x ) = x 1 − e − x = ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) i B i i ! x i = 1 + x 2 + x 2 12 − x 4 720 + ⋯ {\displaystyle Q(x)={\frac {x}{1-e^{-x}}}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}B_{i}}{i!}}x^{i}=1+{\dfrac {x}{2}}+{\dfrac {x^{2}}{12}}-{\dfrac {x^{4}}{720}}+\cdots }
∏ i = 1 m Q ( β i x )   {\displaystyle \prod _{i=1}^{m}Q(\beta _{i}x)\ }

Referências

  1. ↑ INTERSECTION THEORY CLASS 18, by Ravi Vakil

Bibliografia

  • Todd, J. A. (1937), «The Arithmetical Invariants of Algebraic Loci», Proc. London Math. Soc., 43 (1): 190–225, Zbl 0017.18504, doi:10.1112/plms/s2-43.3.190 
  • F. Hirzebruch, Topological methods in algebraic geometry, Springer (1978)
  • M.I. Voitsekhovskii (2001), «Todd class», in: Hazewinkel, Michiel, Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer