Wyprowadzenie rozwiązania Schwarzschilda

Rozwiązanie Schwarzschilda – to rozwiązanie równań pola Einsteina, podające postać metryki czasoprzestrzeni w pobliżu nierotującego, masywnego, sferyczno-symetrycznego ciała. Spośród rozwiązań równań pola Einsteina rozwiązanie to jest uważane za jedno z najprostszych, a zarazem najbardziej użytecznych.

Założenia

Współrzędne sferyczne oraz czas $(r,\theta ,\phi ,t)$ będą numerowane indeksami od 1 do 4. Metryka w ogólności ma 10 niezależnych składników, które są gładkimi funkcjami 4 zmiennych. Zakłada się tu, że rozwiązanie na metrykę jest sferycznie symetryczne, statyczne (niezmienne w czasie) oraz dotyczy próżni; konsekwencją tego jest, że:

sferycznie symetryczna czasoprzestrzeń jest niezmienna przy obrotach i przy odbiciach lustrzanych,
niezależność składowych metryki od czasu oznacza, że ${\tfrac {\partial }{\partial t}}g_{\mu \nu }=0,$ a także, że geometria czasoprzestrzeni nie zmienia się przy odwróceniu czasu $t\to -t,$
rozwiązanie w próżni oznacza, że $T_{ab}=0;$ z równań Einsteina wynika (przy założeniu zerowej wartości stałej kosmologicznej), że $R_{ab}=0$ ponieważ kontrakcja równania $R_{ab}-{\tfrac {R}{2}}g_{ab}=0$ daje $R=0.$

W artykule użyto sygnatury metryki (+,+,+,−).

Diagonalność metryki

Pierwszym krokiem jest zauważenie, że metryka jest diagonalna.

Uzasadnienie:

(1) Pod wpływem odwrócenia czasu $(r,\theta ,\phi ,t)\to (r,\theta ,\phi ,-t)$ wszystkie składniki metryki powinny zostać bez zmian. Składowe $g_{\mu 4}\;(\mu \neq 4)$ zmieniają się jednak pod wpływem tej transformacji, bo

g_{\mu 4}'={\frac {\partial x^{\alpha }}{\partial x^{'\mu }}}{\frac {\partial x^{\beta }}{\partial x^{'4}}}g_{\alpha \beta }=-g_{\mu 4}\;(\mu \neq 4),

natomiast bez zmian pozostaje składowa czasowa

g'_{44}=g_{44}.

Ostatecznie wiec mamy

g_{\mu 4}=0\;(\mu \neq 4).

(2) Podobnie, transformacja współrzędnych przestrzennych $(r,\theta ,\phi ,t)\to (r,\theta ,-\phi ,t)$ oraz $(r,\theta ,\phi ,t)\to (r,-\theta ,\phi ,t)$ prowadzi do wniosku, że:

g_{\mu 3}=0\;(\mu \neq 3),

g_{\mu 2}=0\;(\mu \neq 2).

(3) Podobnie dla symetrycznych składników tensorami metrycznego mamy

g_{4\mu }'={\frac {\partial x^{\alpha }}{\partial x^{'4}}}{\frac {\partial x^{\beta }}{\partial x^{'\mu }}}g_{\alpha \beta }=-g_{4\mu }\;(\mu \neq 4),

co oznacza że

g_{4\mu }=0\;(\mu \neq 4)

itd.

(4) Zbierając powyższe wyniki, mamy:

g_{\mu \nu }=0\;(\mu \neq \nu ),

czyli metryka ma postać diagonalną $ds^{2}=g_{11}\,dr^{2}+g_{22}\,d\theta ^{2}+g_{33}\,d\phi ^{2}+g_{44}\,dt^{2},$

przy czym składowe metryki są niezależne od czasu $t$ (statyczne rozwiązanie).

Upraszczanie składników

Na każdej hiperpowierzchni o stałym czasie $t,$ stałym $\theta$ oraz stałym $\phi$ (tj. na każdej linii radialnej), $g_{11}$ powinno zależeć tylko od $r$ (ze względu na symetrię sferyczną). Dlatego $g_{11}$ jest funkcją tylko jednej zmiennej $g_{11}=A(r).$ Podobny argument stosuje się do $g_{44}{:}$

g_{44}=B(r).

Na hiperpowierzchni o stałym czasie $t$ oraz stałym $r,$ metryka musi być metryką 2-wymiarowej sfery:

dl^{2}=r_{0}^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}).

Wybierając jedną z tych hiperpowierzchni (np. mającą promień $r_{0}$ ), składniki metryki ograniczonej do hiperpowierzchni (które oznaczymy przez ${\tilde {g}}_{22}$ oraz ${\tilde {g}}_{33}$ ) powinny pozostać bez zmian przy obrotach o kąty $\theta$ oraz $\phi$ (ponownie na skutek symetrii sferycznej). Porównując formę metryki na tej hiperpowierzchni, otrzymamy

{\tilde {g}}_{22}\left(d\theta ^{2}+{\frac {{\tilde {g}}_{33}}{{\tilde {g}}_{22}}}\,d\phi ^{2}\right)=r_{0}^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}),

co natychmiast daje

{\tilde {g}}_{22}=r_{0}^{2}

oraz

{\tilde {g}}_{33}=r_{0}^{2}\sin ^{2}\theta .

Ale ponieważ musi być to słuszne na dowolnej hiperpowierzchni, to

g_{22}=r^{2}

oraz

g_{33}=r^{2}\sin ^{2}\theta .

Alternatywny sposób: można intuicyjnie zrozumieć, że $g_{22}$ oraz $g_{33}$ muszą być takie same jak dla płaskiej czasoprzestrzeni, jeżeli spostrzeżemy, że rozciąganie lub ściskanie elastycznej piłki w radialnie nie zmienia kątowych odległości między jej punktami. Dlatego metryka musi mieć postać

ds^{2}=A(r)dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}+B(r)dt^{2},

gdzie $A$ oraz $B$ są pewnymi funkcjami $r.$ Zauważmy, że jeżeli $A$ lub $B$ byłyby równe zeru w pewnym punkcie, to metryka byłaby w tym punkcie osobliwa.

Obliczanie symboli Christoffela

Za pomocą powyższej metryki obliczamy symbole Christoffela, przy czym indeksy są następujące: $(1,2,3,4)=(r,\theta ,\phi ,t);$ znak $'$ oznacza pochodną zupełną funkcji:

\Gamma _{ik}^{1}={\begin{bmatrix}A'/(2A)&0&0&0\\0&-r/A&0&0\\0&0&-r\sin ^{2}\theta /A&0\\0&0&0&-B'/(2A)\end{bmatrix}}

\Gamma _{ik}^{2}={\begin{bmatrix}0&1/r&0&0\\1/r&0&0&0\\0&0&-\sin \theta \cos \theta &0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}

\Gamma _{ik}^{3}={\begin{bmatrix}0&0&1/r&0\\0&0&\operatorname {ctg} \theta &0\\1/r&\operatorname {ctg} \theta &0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}

\Gamma _{ik}^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&B'/(2B)\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\B'/(2B)&0&0&0\end{bmatrix}}

Użycie równań pola do znalezienia A(r) oraz B(r)

Aby określić funkcje $A$ oraz $B,$ używamy równań pola w próżni, tj.

R_{\alpha \beta }=0.

Stąd

\Gamma _{\beta \alpha ,\rho }^{\rho }-\Gamma _{\rho \alpha ,\beta }^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{\beta \alpha }^{\lambda }-\Gamma _{\beta \lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho \alpha }^{\lambda }=0,

gdzie symbole po przecinku oznaczają pochodne po zmiennej o danym indeksie. Tylko trzy spośród tych równań są nietrywialne i po uproszczeniu przyjmują postać

(1) $4A'B^{2}-2rB''AB+rA'B'B+rB'^{2}A=0,$

(2) $rA'B+2A^{2}B-2AB-rB'A=0,$

(3) $-2rB''AB+rA'B'B+rB'^{2}A-4B'AB=0.$

czwarte równanie jest równe $\sin ^{2}\theta$ mnożone równanie (2), gdzie apostrof oznacza pochodną funkcji po r. Dodając równania (1) i (3), dostajemy

A'B+AB'=0\Rightarrow A(r)B(r)=K,

gdzie $K$ jest stałą rzeczywistą, różną od zera. Podstawienie $A(r)B(r)=K$ do równania (2) daje równanie

rA'=A(1-A),

które ma ogólne rozwiązanie

A(r)=\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)^{-1},

dla pewnych niezerowych wartości $S.$ Stąd metryka dla stałych, sferycznie symetrycznych rozwiązań w próżni przyjmuje postać:

ds^{2}=\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})+K\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)dt^{2}.

Zauważmy, że czasoprzestrzeń o takiej metryce jest asymptotycznie płaska, tj. dla $r\to \infty$ metryka przechodzi w metrykę Minkowskiego i rozmaitość czasoprzestrzeni staje się przestrzenią Minkowskiego.

Zobacz też

linie geodezyjne w metryce Schwarzschilda
metryka Schwarzschilda
równanie Einsteina
współrzędne krzywoliniowe

Bibliografia

James B. Hartle: Grawitacja. Wprowadzenie do ogólnej teorii względności Einsteina. Warszawa: Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, 2010. ISBN 978-83-2350476-4.
Sean M. Carroll: Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. San Francisco: Addison-Wesley, 2004. ISBN 0-8053-8732-3.
Øyvind Grøn, Sigbjørn Hervik: Einstein’s General Theory of Relativity. New York: Springer, 2007. ISBN 978-0-387-69199-2.
Lev D. Landau, Evgeny F. Lifshitz: Teoria pola. Wyd. 4. Warszawa: PWN, 2009. ISBN 0-7506-2768-9.
Charles W. Misner, Kip. S. Thorne, John A. Wheeler: Gravitation (book). W. H. Freeman, 1973. ISBN 0-7167-0344-0.
Hans Stephani: General Relativity: An Introduction to the Theory of the Gravitational Field. Cambridge: Cambridge University Press, 1990. ISBN 0-521-37941-5.
Robert M. Wald: General Relativity (book). University of Chicago Press, 1984. ISBN 0-226-87033-2.