Wielomiany Zernikego są zbiorem wielomianów ortogonalnych wewnątrz koła jednostkowego wprowadzonych przez Fritsa Zernike.
Definicja
Wielomiany Zernikego zdefiniowane są w postaci zespolonej:
gdzie:
- są liczbami naturalnymi takimi, że oraz jest parzyste,
- są współrzędnymi biegunowymi punktu (odpowiednio długością promienia wodzącego i wartością kąta skierowanego).
- jest wielomianem radialnym postaci:
Czasami spotyka się również definicję wielomianów Zernikego w postaci rzeczywistej. Wyróżnia się parzyste i nieparzyste wielomiany Zernikego
- – wielomian parzysty,
- – wielomian nieparzysty.
Przykłady
Kolejne wielomiany Zernike mają rozwinięcie
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
Mapy jasności niektórych wielomianów Zernikego:
| | | | | |
Część rzeczywista | | | | | |
Część urojona | | | | | |
Własności
Wielomiany radialne są ortogonalne:
gdzie oznacza deltę Kroneckera. Podobnie, ortogonalność zachodzi dla wielomianów Zernikego:
Wielomiany te posiadają również własność rotacyjną
co oznacza, że ich moduł jest niezależny od obrotu:
Sprzężenie wielomianu Zernikego ma wartość:
Zastosowanie
W optyce, wielomiany Zernikego stosuje się do opisu aberracji soczewek.
Wielomiany Zernikego znalazły też zastosowanie w cyfrowym przetwarzaniu obrazów, do dekompozycji obrazów na tzw. momenty Zernikego.
Zobacz też
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Zernike Polynomial, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-13] (ang.).
- James C. Wyant: „Zenike Polyniomials”. optics.arizona.edu. [zarchiwizowane z tego adresu (2006-09-06)]. (en.)