Ułamki proste

Wikipedia:Weryfikowalność
 Ten artykuł od 2012-01 wymaga zweryfikowania podanych informacji.
Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych.
Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte.
Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary)
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Ułamki proste – składniki pewnej sumy, w postaci której przedstawia się dowolną funkcję wymierną, w której stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika. Każdy ułamek prosty jest ułamkiem o następujących własnościach:

  • mianownik jest potęgą pewnego wielomianu nierozkładalnego,
  • licznik jest wielomianem stopnia mniejszego od stopnia nierozkładalnego wielomianu występującego w mianowniku (niepodniesionego do żadnej potęgi większej od 1).

Każdą funkcję wymierną można przedstawić jako sumę pewnego wielomianu i pewnej funkcji wymiernej, w której stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku. Przedstawienie tej ostatniej funkcji wymiernej w postaci sumy ułamków prostych nazywa się rozkładem funkcji na ułamki proste.

To, jakie wielomiany są nierozkładalne, zależy od ciała, nad którym je rozważamy. Przykładowo, w ciele liczb rzeczywistych istnieją wielomiany nierozkładalne stopnia 1 i 2, w ciele liczb zespolonych jedynie stopnia 1, zaś w ciele liczb wymiernych istnieją wielomiany nierozkładalne dowolnie wysokich stopni.

Rozkład na ułamki proste ułatwia obliczanie całek, a także rozwiązywanie równań różniczkowych.

Możliwe postaci ułamka prostego

W ciele ułamków nad pierścieniem wielomianów o współczynnikach rzeczywistych[1]:

  1. b ( x − a ) n , n ⩾ 1 {\displaystyle {\frac {b}{(x-a)^{n}}},\quad n\geqslant 1}
  2. e x + f ( a x 2 + b x + c ) n , n ⩾ 1 ,     b 2 − 4 a c < 0 {\displaystyle {\frac {ex+f}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}},\quad n\geqslant 1,~~b^{2}-4ac<0}

W ciele ułamków nad pierścieniem wielomianów o współczynnikach zespolonych

  1. b ( x − a ) n , n ⩾ 1 {\displaystyle {\frac {b}{(x-a)^{n}}},\quad n\geqslant 1}

Przykłady rozkładu

  • f ( x ) ( x − a ) 3 = A ( x − a ) + B ( x − a ) 2 + C ( x − a ) 3 , {\displaystyle {\frac {f(x)}{(x-a)^{3}}}={\frac {A}{(x-a)}}+{\frac {B}{(x-a)^{2}}}+{\frac {C}{(x-a)^{3}}},} tutaj deg ⁡ ( f ) < 3 ; {\displaystyle \deg(f)<3;}
  • f ( s ) ( s + 3 ) ( s + 1 ) 4 = A s + 1 + B ( s + 1 ) 2 + C ( s + 1 ) 3 + D ( s + 1 ) 4 + E ( s + 3 ) , {\displaystyle {\frac {f(s)}{(s+3)(s+1)^{4}}}={\frac {A}{s+1}}+{\frac {B}{(s+1)^{2}}}+{\frac {C}{(s+1)^{3}}}+{\frac {D}{(s+1)^{4}}}+{\frac {E}{(s+3)}},} tutaj deg ⁡ ( f ) < 5 ; {\displaystyle \deg(f)<5;}
  • 1 ( s 2 + 1 ) ( s + 1 ) 2 = A s + B s 2 + 1 + C ( s + 1 ) 2 + D s + 1 {\displaystyle {\frac {1}{(s^{2}+1)(s+1)^{2}}}={\frac {As+B}{s^{2}+1}}+{\frac {C}{(s+1)^{2}}}+{\frac {D}{s+1}}}

Aby znaleźć współczynniki A , B , C , D , … {\displaystyle A,B,C,D,\ldots } stosuje się metodę współczynników nieoznaczonych. W tym celu wystarczy prawą stronę sprowadzić do wspólnego mianownika i wielomian w jej liczniku uporządkować według zmiennej. Na przykład w ostatnim punkcie powstanie wielomian

( A + D ) s 3 + ( 2 A + B + C + D ) s 2 + ( A + 2 B + D ) s + ( B + C + D ) {\displaystyle (A+D)s^{3}+(2A+B+C+D)s^{2}+(A+2B+D)s+(B+C+D)}

Przyrównując współczynniki przy kolejnych potęgach zmiennej s {\displaystyle s} do odpowiednich współczynników wielomianu z lewej strony (tu jest wielomian stały) otrzymuje się układ równań, po rozwiązaniu którego otrzymuje się wartości współczynników A , B , C , D . {\displaystyle A,B,C,D.}

Przypisy

  1. ↑ ułamek prosty, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-02] .

Linki zewnętrzne

publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Szymon Charzyński, nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-06-23]:

  • Rozkład na ułamki proste cz. 1, 26 czerwca 2013.
  • Rozkład na ułamki proste cz. 2, 26 czerwca 2013.
  • Rozkład na ułamki proste cz. 3, 26 czerwca 2013.
  • Całkowanie funkcji wymiernej przez rozkład na ułamki proste, 31 maja 2015.